已知函数f(x)=xlnx+ax(a∈R).(1)若a=0,求f(x)的最小值;(2)若对任意x∈[1,+∞),都有f(x)≥-1成立,求实数a的取值范围.-数学

题目简介

已知函数f(x)=xlnx+ax(a∈R).(1)若a=0,求f(x)的最小值;(2)若对任意x∈[1,+∞),都有f(x)≥-1成立,求实数a的取值范围.-数学

题目详情

已知函数f(x)=xlnx+ax(a∈R).
(1)若a=0,求f(x)的最小值;
(2)若对任意x∈[1,+∞),都有f(x)≥-1成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

f(x)的定义域为(0,+∞).                                         …1分
(Ⅰ)当a=0时,f(x)=xlnx,f'(x)=1+lnx.                               …2分
令f'(x)>0,解得x>class="stub"1
e

令f'(x)<0,解得0<x<class="stub"1
e

从而f(x)在(0,class="stub"1
e
)
单调递减,在(class="stub"1
e
,+∞)
单调递增.
所以,当x=class="stub"1
e
时,f(x)取得最小值-class="stub"1
e
.                                      …4分
(Ⅱ)依题意,得f(x)≥-1在[1,+∞)上恒成立,即f(x)=xlnx+ax≥-1成立,
即不等式a≥-(lnx+class="stub"1
x
)
对于x∈[1,+∞)恒成立.
g(x)=lnx+class="stub"1
x
,则g′(x)=class="stub"1
x
-class="stub"1
x2
=class="stub"x-1
x2

当x>1时,因为g′(x)=class="stub"x-1
x2
>0

故g(x)在[1,+∞)上是增函数,
所以 g(x)的最小值是g(1)=1,从而-g(x)的最大值是-g(1)=-1. …8分
所以a的取值范围是[-1,+∞).

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