已知函数f(x)满足f(x+1)=1f(x),且f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点,则实数k的取值范围是______

题目简介

已知函数f(x)满足f(x+1)=1f(x),且f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点,则实数k的取值范围是______

题目详情

已知函数f(x)满足f(x+1)=
1
f(x)
,且f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点,则实数k的取值范围是______.
题型:填空题难度:中档来源:南充一模

答案

由于f(x+2)=f(x).∴f(x)是周期为2的函数,
x在[0,1],f(x)=x 由于f(x)是偶函数,x在[-1,0],f(x)=-x
f(x)是周期为2的函数 f(2)=f(0)=0 函数解析式:y=-x+2 x在[2,3]时,
函数解析式:y=x-2 g(x)仍为一次函数,有4个零点,
故在四段内各有一个零点.
x在[-1,0),g(x)=-x-kx-k=-(k+1)x-k 令g(x)=0,∴x=-class="stub"k
k+1

∴-1≤-class="stub"k
k+1
<0,解得k>0
x在(0,1],g(x)=x-kx-k=(1-k)x-k,令g(x)=0,∴x=class="stub"k
k+1

∴0<class="stub"k
k+1
≤1 解的0<k≤class="stub"1
2

x在(1,2],g(x)=-x+2-kx-k=-(k+1)x+2-k,令g(x)=0,∴x=class="stub"2-k
k+1

∴1<class="stub"2-k
k+1
≤2,解的0≤k<class="stub"1
2

x在(2,3],g(x)=x-2-kx-k=(1-k)x-2-k,令g(x)=0,∴x=class="stub"k+2
1-k

∴2<class="stub"k+2
1-k
≤3,解的0<k≤class="stub"1
4

综上可知,k的取值范围为:0<k≤class="stub"1
4

故答案为:(0,class="stub"1
4
].

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