已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x3+1；（1）求y=f（x）的解析式；（2）求F（x）=f（x）（x∈[t，t+1]）的最小值g（t）．-数学

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已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x³+1；
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求F（x）=f（x）（x∈[t，t+1]）的最小值g（t）．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵f（x）是偶函数，
∴f（x）=f（-x）
x≥0时，f（x）=x3+1
∴x＜0时，f（x）=f（-x）=（-x）3+1=-x3+1
故f（x）=

x3+1，x≥0

-x3+1，x＜0

…（5分）
（2）由（1）中函数f（x）的解析式楞各
当t+1≤0，即t≤-1时
f（x）=-x3+1在区间[t，t+1]上为减函数
∴F（x）min=f（t+1）=-（t+1）3+1…（7分）
当t＜0＜t+1，即-1＜t＜0时
f（x）=-x3+1在区间[t，0]上为减函数，区间[0，t+1]上为减函数
F（x）min=f（0）=1…（9分）
当t≥0时，f（t）=t3+1在区间[t，t+1]上为增函数
F（x）min=f（t）=t3+1 …（11分）
故：F（x）min=g（t）=

-(t+1)3+1，t≤1

1，-1＜t＜0

t3+1，t≥0

…（12分）

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已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x3+1；（1）求y=f（x）的解析式；（2）求F（x）=f（x）（x∈[t，t+1]）的最小值g（t）．-数学

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