已知f(x)=2x可以表示成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和,若关于x的不等式ag(x)+h(2x)≥0对于x∈[1,2]恒成立,则实数a的最小值是______.-数学

题目简介

已知f(x)=2x可以表示成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和,若关于x的不等式ag(x)+h(2x)≥0对于x∈[1,2]恒成立,则实数a的最小值是______.-数学

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已知f(x)=2x可以表示成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和,若关于x的不等式ag(x)+h(2x)≥0对于x∈[1,2]恒成立,则实数a的最小值是______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

f(x)=2x可以表示成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和
∴g(x)+h(x)=2x①,g(-x)+h(-x)=-g(x)+h(x)=2-x②
①②联立可得,h(x)=class="stub"1
2
(2x +2-x)
,g(x)=class="stub"1
2
(2x -2-x)

ag(x)+h(2x)≥0对于x∈[1,2]恒成立
a≥ -
h(2x)
g(x)
对于x∈[1,2]恒成立
a≥-
4x+4-x
2x-2-x
=-(2x-2-x)+(2-x-2x)
对于x∈[1,2]恒成立
t=2x-2-x,x∈[1,2],t∈[class="stub"3
2
,class="stub"15
4
]
则t+class="stub"2
t
在t∈[class="stub"3
2
,class="stub"15
4
]
单调递增,
t=class="stub"3
2
时,则t+class="stub"2
t
=class="stub"17
6

a≥-class="stub"17
6

故答案为:-class="stub"17
6

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