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> 已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+6)+f(x)=2f(3),y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,且f(4)=4,则f(2012)=()A.0B.-4C.-8D.-16-数学
已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+6)+f(x)=2f(3),y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,且f(4)=4,则f(2012)=()A.0B.-4C.-8D.-16-数学
题目简介
已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+6)+f(x)=2f(3),y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,且f(4)=4,则f(2012)=()A.0B.-4C.-8D.-16-数学
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已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+6)+f(x)=2f(3),y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,且f(4)=4,则f(2012)=( )
A.0
B.-4
C.-8
D.-16
题型:单选题
难度:偏易
来源:不详
答案
因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,
即函数y=f(x)是奇函数,
令x=-3得,f(-3+6)+f(-3)=2f(3),即f(3)-f(3)=2f(3),解得f(3)=0.
所以f(x+6)+f(x)=2f(3)=0,即f(x+6)=-f(x),
所以f(x+12)=f(x),即函数的周期是12.
所以f(2012)=f(12×168-4)=f(-4)=-f(4)=-4.
故选B.
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已知偶函数f(x)在区间单调递增,则
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已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+6)+f(x)=2f(3),y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,且f(4)=4,则f(2012)=()A.0B.-4C.-8D.-16-数学
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答案
即函数y=f(x)是奇函数,
令x=-3得,f(-3+6)+f(-3)=2f(3),即f(3)-f(3)=2f(3),解得f(3)=0.
所以f(x+6)+f(x)=2f(3)=0,即f(x+6)=-f(x),
所以f(x+12)=f(x),即函数的周期是12.
所以f(2012)=f(12×168-4)=f(-4)=-f(4)=-4.
故选B.