已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+6)+f(x)=2f(3),y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,且f(4)=4,则f(2012)=()A.0B.-4C.-8D.-16-数学

题目简介

已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+6)+f(x)=2f(3),y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,且f(4)=4,则f(2012)=()A.0B.-4C.-8D.-16-数学

题目详情

已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+6)+f(x)=2f(3),y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,且f(4)=4,则f(2012)=(  )
A.0B.-4C.-8D.-16
题型:单选题难度:偏易来源:不详

答案

因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,
即函数y=f(x)是奇函数,
令x=-3得,f(-3+6)+f(-3)=2f(3),即f(3)-f(3)=2f(3),解得f(3)=0.
所以f(x+6)+f(x)=2f(3)=0,即f(x+6)=-f(x),
所以f(x+12)=f(x),即函数的周期是12.
所以f(2012)=f(12×168-4)=f(-4)=-f(4)=-4.
故选B.

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