已知函数f(x)=xlnx。(1)求f(x)的最小值;(2)讨论关于x的方程f(x)-m=0(m∈R)的解的个数。-高三数学

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已知函数f(x)=xlnx。(1)求f(x)的最小值;(2)讨论关于x的方程f(x)-m=0(m∈R)的解的个数。-高三数学

题目详情

已知函数f(x)=xlnx。
(1)求f(x)的最小值;
(2)讨论关于x的方程f(x)-m=0(m∈R)的解的个数。
题型:解答题难度:中档来源:同步题

答案

解:f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=lnx+1,
令f′(x)=0,得x=
当x∈(0,+∞)时,f′(x),f(x)的变化情况如下

所以,f(x)在(0,+∞)上最小值是f()=-
(2)当x∈(0,)时,f(x)单调递减且f(x)的取值范围是(-,0)
当x∈(,+∞)时,f(x)单调递增且f(x)的取值范围是
下面讨论f(x)-m=0的解:
当m<-时,原方程无解
当m=-或m≥0时,原方程有唯一解
当-<m<0时,原方程有两个解。

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