若以曲线y=f(x)任意一点M(x,y)为切点作切线l,曲线上总存在异于M的点N(x1y1),以点N为切点作切线l1,且l∥l1,则称曲线y=f(x)具有“可平行性”.下列曲线具有可平行性的编号为_-

题目简介

若以曲线y=f(x)任意一点M(x,y)为切点作切线l,曲线上总存在异于M的点N(x1y1),以点N为切点作切线l1,且l∥l1,则称曲线y=f(x)具有“可平行性”.下列曲线具有可平行性的编号为_-

题目详情

若以曲线y=f(x)任意一点M(x,y)为切点作切线l,曲线上总存在异于M的点N(x1 y1),以点N为切点作切线l1,且ll1,则称曲线y=f(x)具有“可平行性”.下列曲线具有可平行性的编号为______.(写出所有满足条件的函数的编号)
①y=x3-x    
②y=x+
1
x
   
③y=sina
④y=(x-2)2+lnx.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

由题意得,曲线具有可平行性的条件是:方程y′=a(a是导数值)至少有两个根,
①、由y′=3x2-1知,当y′=-1时,x的取值唯一,只有0,不符合题意;
②、由y′=1-class="stub"1
x2
=a(x≠0且a≠1),即class="stub"1
x2
=1-a,此方程有两不同的个根,符合题意;
③、由y'=cosx和三角函数的周期性知,cosx=a(-1≤a≤1)的解有无穷多个,符合题意;
④、由y'=2x-4+class="stub"1
x
(x>0),令2x-4+class="stub"1
x
=a,则有2x2-(4+a)x+1=0,当△=0时解唯一,不符合题意,
故答案为:②③.

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