首页 > 设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．（Ⅰ）当b＞12时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数f（x）的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式ln(1n+1)＞1n2-1

设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．（Ⅰ）当b＞12时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数f（x）的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式ln(1n+1)＞1n2-1

题目简介

设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．（Ⅰ）当b＞12时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数f（x）的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式ln(1n+1)＞1n2-1

题目详情

设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．
（Ⅰ）当b＞
1
2
时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式ln(
1
n
+1)＞
1
n2
-
1
n3
都成立．
题型：解答题难度：中档来源：山东

答案

（Ⅰ）函数f（x）=x2+bln（x+1）的定义域在（-1，+∞）
f′(x)=2x+class="stub"b
x+1
=
2x2+2x+b
x+1

令g（x）=2x2+2x+b，则g（x）在(-class="stub"1
2
，+∞)上递增，在(-1，-class="stub"1
2
)上递减，g(x)min=g(-class="stub"1
2
)=-class="stub"1
2
+b，当b＞class="stub"1
2
时g(x)min=-class="stub"1
2
+b＞0
g（x）=2x2+2x+b＞0在（-1，+∞）上恒成立，
所以f'（x）＞0即当b＞class="stub"1
2
时，函数f（x）在定义域（-1，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知当b＞class="stub"1
2
时函数f（x）无极值点
（2）当b=class="stub"1
2
时，f′(x)=
2(x+class="stub"1
2
)2
x+1
，
∴x∈(-1，-class="stub"1
2
)时，f′(x)＞0x∈(-class="stub"1
2
，+∞)时，f′(x)＞0，
∴b=class="stub"1
2
时，函数f（x）在（-1，+∞）上无极值点
（3）当b＜class="stub"1
2
时，解f'（x）=0得两个不同解x1=
-1-
1-2b
2
，x2=
-1+
1-2b
2

当b＜0时，x1=
-1-
1-2b
2
，x2=
-1+
1-2b
2
，
∴x1∈（-∞，-1），x2∈（-1，+∞），此时f（x）在（-1，+∞）上有唯一的极小值点x2=
-1+
1-2b
2

当0＜b＜class="stub"1
2
时，x1，x2∈（-1，+∞）f'（x）在（-1，x1），（x2，+∞）都大于0，
f'（x）在（x1，x2）上小于0，此时f（x）有一个极大值点x1=
-1-
1-2b
2
和一个极小值点x2=
-1+
1-2b
2

综上可知，b＜0，时，f（x）在（-1，+∞）上有唯一的极小值点x2=
-1+
1-2b
2

0＜b＜class="stub"1
2
时，f（x）有一个极大值点x1=
-1-
1-2b
2
和一个极小值点x2=
-1+
1-2b
2

b≥class="stub"1
2
时，函数f（x）在（-1，+∞）上无极值点．
（Ⅲ）当b=-1时，f（x）=x2-ln（x+1）．令h(x)=x3-f(x)=x3-x2+ln(x+1)，则h′(x)=
3x3+(x-1)2
x+1
在[0，+∞)上恒正
∴h（x）在[0，+∞）上单调递增，
当x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0
即当x∈（0，+∞）时，有x3-x2+ln（x+1）＞0，ln（x+1）＞x2-x3，对任意正整数n，取x=class="stub"1
n
得ln(class="stub"1
n
+1)＞class="stub"1
n2
-class="stub"1
n3

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