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已知定义在正实数集上的函数f（x）=12x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，其中a＞0．设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在公共点处的切线相同．（1）若a=1，求b的值；（2）用a表

题目简介

已知定义在正实数集上的函数f（x）=12x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，其中a＞0．设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在公共点处的切线相同．（1）若a=1，求b的值；（2）用a表

题目详情

已知定义在正实数集上的函数f（x）=
1
2
x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，其中a＞0．设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在公共点处的切线相同．
（1）若a=1，求b的值；
（2）用a表示b，并求b的最大值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x0，y0）处的切线相同．
f′（x）=x+2，g′（x）=class="stub"3
x
，
由题意知f（x0）=g（x0），f′（x0）=g′（x0），
∴
class="stub"1
2
x-02+2x0=3lnx0+b
x0+2=class="stub"3
x0
，
由x0+2=class="stub"3
x0
得x0=1或x0=-3（舍去），即有b=class="stub"5
2
．
（2）设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x0，y0）处的切线相同、
f′（x）=x+2a，g′（x）=
3a2
x
，
由题意f（x0）=g（x0），f′（x0）=g′（x0），
即
class="stub"1
2
x20
+2ax0=3a2lnx0+b
x0+2a=
3a2
x0
由x0+2a=
3a2
x0
得x0=a或x0=-3a（舍去），
即有b=class="stub"1
2
a2+2a2-3a2lna=class="stub"5
2
a2-3a2lna．
令h（t）=class="stub"5
2
t2-3t2lnt（t＞0），则h′（t）=2t（1-3lnt）、
于是当t（1-3lnt）＞0，即0＜t＜eclass="stub"1
3
时，h′（t）＞0；
当t（1-3lnt）＜0，即t＞eclass="stub"1
3
时，h′（t）＜0．
故h（t）在（0，eclass="stub"1
3
）为增函数，在（eclass="stub"1
3
，+∞）为减函数，于是h（t）在（0，+∞）的最大值为h（eclass="stub"1
3
）=class="stub"3
2
eclass="stub"2
3
，
故b的最大值为class="stub"3
2
eclass="stub"2
3
．

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