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> 已知函数f(x)=x2-a(a+2)xx+1(a≥0).(I)当a=1时,求f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;(Ⅱ)求函数f(x)在[0,2]上的最小值.-数学
已知函数f(x)=x2-a(a+2)xx+1(a≥0).(I)当a=1时,求f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;(Ⅱ)求函数f(x)在[0,2]上的最小值.-数学
题目简介
已知函数f(x)=x2-a(a+2)xx+1(a≥0).(I)当a=1时,求f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;(Ⅱ)求函数f(x)在[0,2]上的最小值.-数学
题目详情
已知函数
f(x)=
x
2
-a(a+2)x
x+1
(a≥0).
(I)当a=1时,求f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;
(Ⅱ)求函数f(x)在[0,2]上的最小值.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(I) 当a=1时,
f(x)=
x
2
-3x
x+1
,∴
f′(x)=
x
2
+2x-3
(x+1)
2
,f(3)=0,
∴f(x)在点(3,f(3))处的切线的斜率f′(3)=
class="stub"3
4
,切点(3,0),
因此其切线方程为
y=
class="stub"3
4
(x-3)
,即3x-4y-9=0.
( II)x≠-1,
f′(x)=
x
2
+2x-a(a+2)
(x+1)
2
=
[x+(a+2)](x-a)
(x+1)
2
,
①当a=0时,在(0,2]上导函数
f′(x)=
x
2
+2x
(x+1)
2
>0
,所以f(x)在[0,2]上递增,可得f(x)的最小值为f(0)=0;
②当0<a<2时,导函数f'(x)的符号如下表所示
x
[0,a)
a
(a,2]
f'(x)
-
0
+
f(x)
单调递减
极小值
单调递增
所以f(x)的最小值为
f(a)=
a
2
-
a
2
(a+2)
a+1
=-
a
2
;
③当a≥2时,在[0,2)上导函数f'(x)<0,∴f(x)在[0,2]上递减,
∴f(x)的最小值为
f(2)=
4-2a(a+2)
3
=-
class="stub"2
3
a
2
-
class="stub"4
3
a+
class="stub"4
3
.
综上可知:①当a=0时,f(x)的最小值为f(0)=0;
②当0<a<2时,f(x)的最小值为f(a)=-a2;
③当a≥2时,f(x)的最小值为f(2)=
-
class="stub"2
3
a
2
-
class="stub"4
3
a+
class="stub"4
3
.
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答案
∴f(x)在点(3,f(3))处的切线的斜率f′(3)=
因此其切线方程为y=
( II)x≠-1,f′(x)=
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