已知函数f(x)=sinxcosx-3sin2x.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期和单调递减区间;(Ⅱ)若x∈[0,π2],求f(x)的最小值及取得最小值时对应的x的取值.-高三数学

题目简介

已知函数f(x)=sinxcosx-3sin2x.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期和单调递减区间;(Ⅱ)若x∈[0,π2],求f(x)的最小值及取得最小值时对应的x的取值.-高三数学

题目详情

已知函数f(x)=sinxcosx-
3
sin2x.
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期和单调递减区间;
(Ⅱ)若x∈[0,
π
2
]
,求f(x)的最小值及取得最小值时对应的x的取值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)∵f(x)=sinxcosx-
3
sin2x
=class="stub"1
2
sin2x-
3
class="stub"1-cos2x
2

=class="stub"1
2
sin2x+
3
2
cos2x-
3
2

=sin(2x+class="stub"π
3
)-
3
2

∴其最小正周期T=class="stub"2π
2
=π;
由2kπ+class="stub"π
2
≤2x+class="stub"π
3
≤2kπ+class="stub"3π
2
(k∈Z)得:kπ+class="stub"π
12
≤x≤kπ+class="stub"7π
12
(k∈Z),
∴f(x)的单调递减区间为[kπ+class="stub"π
12
,kπ+class="stub"7π
12
](k∈Z);
(Ⅱ)∵x∈[0,class="stub"π
2
],
∴2x+class="stub"π
3
∈[class="stub"π
3
class="stub"4π
3
],
∴-
3
2
≤sin(2x+class="stub"π
3
)≤1,
∴当2x+class="stub"π
3
=class="stub"4π
3
,即x=class="stub"π
2
时,f(x)取得最小值-
3

即:当x∈[0,class="stub"π
2
]时,fx(min=-
3
,此时x=class="stub"π
2

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