在三角形ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,m=(2b-c,cosC),.n=(a,cosA),且m∥.n.(1)求角A的大小;(2)当π6<B<π2时,求函数y=2sin2B+cos(π3

题目简介

在三角形ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,m=(2b-c,cosC),.n=(a,cosA),且m∥.n.(1)求角A的大小;(2)当π6<B<π2时,求函数y=2sin2B+cos(π3

题目详情

在三角形ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,
m
=(2b-c,cosC),
.
n
=(a,cosA),且
m
.
n

(1)求角A的大小;
(2)当
π
6
<B<
π
2
时,求函数y=2sin2B+cos(
π
3
-2B)的值域.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵
m
=(2b-c,cosC),
.
n
=(a,cosA),且
m
.
n
        
∴(2b-c)cosA=acosC即(2sinB-sinC)cosA-sinAcosC=0(2分)
化简,得2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)
∵A+B+C=π,
∴2sinBcosA=sin(π-B)=sinB…(4分)
∵在锐角三角形ABC中,sinB>0
∴两边约去sinB,得cosA=class="stub"1
2

结合A是三角形的内角,得A=class="stub"π
3
…(6分)
(2)∵锐角三角形ABC中,A=class="stub"π
3
,∴class="stub"π
6
<B<class="stub"π
2
…(7分)
∴y=2sin2B+cos(class="stub"π
3
-2B)=1-cos2B+class="stub"1
2
cos2B+
3
2
sin2B
=1+
3
2
sin2B-class="stub"1
2
cos2B=1+sin(2B-class="stub"π
6
)…(9分)
class="stub"π
6
<B<class="stub"π
2
,∴class="stub"π
6
<2B-class="stub"π
6
class="stub"5π
6

class="stub"1
2
<sin(2B-class="stub"π
6
)≤1,可得class="stub"3
2
<y≤2
∴函数y=2sin2B+cos(class="stub"π
3
-2B)的值域为(class="stub"3
2
,2].…(12分)

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