首页 > 已知数列{an}，{bn}中，a1=b1=1，且当n≥2时，an-nan-1=0，bn=2bn-1-2n-1．记n的阶乘n（n-1）（n-2）…3•2•1≈n!（1）求数列{an}的通项公式；（2）求

已知数列{an}，{bn}中，a1=b1=1，且当n≥2时，an-nan-1=0，bn=2bn-1-2n-1．记n的阶乘n（n-1）（n-2）…3•2•1≈n!（1）求数列{an}的通项公式；（2）求

题目简介

已知数列{an}，{bn}中，a1=b1=1，且当n≥2时，an-nan-1=0，bn=2bn-1-2n-1．记n的阶乘n（n-1）（n-2）…3•2•1≈n!（1）求数列{an}的通项公式；（2）求

题目详情

已知数列{an}，{bn}中，a1=b1=1，且当n≥2时，an-nan-1=0，bn=2bn-1-2n-1．记n的阶乘n（n-1）（n-2）…3•2•1≈n!
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：数列{
bn
2n
}为等差数列；
（3）若cn=
an
an+2
+bn-2n，求{cn}的前n项和．
题型：解答题难度：中档来源：茂名一模

答案

（1）∵an-nan-1=0（n≥2），a1=1，
∴an=nan-1=n（n-1）an-2=n（n-1）（n-2）an-3=…
=n（n-1）（n-2）…3•2•1=n!
又a1=1=1!，∴an=n!
（2）证明：由bn=2bn-1-2n-1，两边同时除以2n得：
bn
2n
=
bn-1
2n-1
-class="stub"1
2
，即
bn
2n
-
bn-1
2n-1
=class="stub"1
2
．
∴数列{
bn
2n
}是以class="stub"1
2
为首项，公差为-class="stub"1
2
的等差数列，
则
bn
2n
=class="stub"1
2
+(n-1)(-class="stub"1
2
)=1-class="stub"n
2
，故bn=2n(1-class="stub"n
2
)．
（3）因为
an
an+2
=class="stub"n!
(n+2)!
=class="stub"1
(n+1)(n+2)
=class="stub"1
n+1
-class="stub"1
n+2
，
bn-2n=2n(1-class="stub"n
2
)-2n=-n•2n-1．
记An=
a1
a3
+
a2
a4
+
a3
a5
+…+
an
an+2

=(class="stub"1
2
-class="stub"1
3
)+(class="stub"1
3
-class="stub"1
4
)+(class="stub"1
4
-class="stub"1
5
)+…+(class="stub"1
n+1
-class="stub"1
n+2
)
=class="stub"1
2
-class="stub"1
n+2
．
记{bn-2n}的前n项和为Bn．
则Bn=-1•20-2•21-3•22-…-n•2n-1 ①
∴2Bn=-1•21-2•22-…-(n-1)•2n-1-n•2n ②
由②-①得：
Bn=20+21+22+…+2n-1-n•2n=
1-2n
1-2
-n•2n=(1-n)•2n-1．
∴Sn=c1+c2+c3+…+cn=An+Bn=(1-n)•2n-class="stub"1
2
-class="stub"1
n+2
．
所以数列{cn}的前n项和为(1-n)•2n-class="stub"1
2
-class="stub"1
n+2
．

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