首页 > 已知递增的等比数列{an}的前三项之积为512，且这三项分别依次减去1、3、9后又成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若Tn=1a1+2a2+3a3+…+nan，求Tn．-高二数学

已知递增的等比数列{an}的前三项之积为512，且这三项分别依次减去1、3、9后又成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若Tn=1a1+2a2+3a3+…+nan，求Tn．-高二数学

题目简介

已知递增的等比数列{an}的前三项之积为512，且这三项分别依次减去1、3、9后又成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若Tn=1a1+2a2+3a3+…+nan，求Tn．-高二数学

题目详情

已知递增的等比数列{an}的前三项之积为512，且这三项分别依次减去1、3、9后又成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若Tn=
1
a1
+
2
a2
+
3
a3
+…+
n
an
，求Tn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）设递增的等比数列{an}的前三项分别为a1，a2，a3，
则a1a2a3=512，∴a2=8．
又这三项分别依次减去1、3、9后又成等差数列，
则2（a2-3）=a1-1+a3-9，即a1+a3=20．
又∵a1a3=a22=64，且a1＜a3，∴a1=4，a3=16，
∴等比数列{an}的公比q=2．
∴an=a1qn-1=4•2n-1=2n+1；
（2）证明：令bn=class="stub"n
an
=class="stub"n
2n+1
=n(class="stub"1
2
)n+1，
则Tn=b1+b2+…+bn
=1•(class="stub"1
2
)2+2•(class="stub"1
2
)3+…+(n-1)•(class="stub"1
2
)n+n•(class="stub"1
2
)n+1，①
class="stub"1
2
Tn=(class="stub"1
2
)3+2•(class="stub"1
2
)4+…+(n-1)•(class="stub"1
2
)n+1+n•(class="stub"1
2
)n+2，②
①-②得：class="stub"1
2
Tn=(class="stub"1
2
)2+(class="stub"1
2
)3+…+(class="stub"1
2
)n+1-n•(class="stub"1
2
)n+2，
即Tn=class="stub"1
2
+(class="stub"1
2
)2+…+(class="stub"1
2
)n-n•(class="stub"1
2
)n+1，
∴Tn=
class="stub"1
2
(1-(class="stub"1
2
)n)
1-class="stub"1
2
-n•(class="stub"1
2
)n+1=1-(1+class="stub"n
2
)•(class="stub"1
2
)n．

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网