首页 > 已知数列an的前项和Sn=2n+2-4(n∈N*)，函数f（x）对任意的x∈R都有f（x）+f（1-x）=1，数列{bn}满足bn=f（0）+f（1n）+f（2n）…+f（n-1n）+f（1）．（1）

已知数列an的前项和Sn=2n+2-4(n∈N*)，函数f（x）对任意的x∈R都有f（x）+f（1-x）=1，数列{bn}满足bn=f（0）+f（1n）+f（2n）…+f（n-1n）+f（1）．（1）

题目简介

已知数列an的前项和Sn=2n+2-4(n∈N*)，函数f（x）对任意的x∈R都有f（x）+f（1-x）=1，数列{bn}满足bn=f（0）+f（1n）+f（2n）…+f（n-1n）+f（1）．（1）

题目详情

已知数列an的前项和Sn=2n+2-4(n∈N*)，函数f（x）对任意的x∈R都有f（x）+f（1-x）=1，数列{bn}满足bn=f（0）+f（
1
n
）+f（
2
n
）…+f（
n-1
n
）+f（1）．
（1）分别求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）若数列{cn}满足cn=an•bn，Tn是数列{cn}的前项和，是否存在正实数k，使不等式k（n2-9n+26）Tn＞4ncn对于一切的n∈N*恒成立？若存在请指出k的取值范围，并证明；若不存在请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵Sn=2n+2-4(n∈N*)，
∴n=1，a1=S1=21+2-4=4…（1分）
n≥2，an=Sn-Sn-1=(2n+2-4)-(2n+1-4)=2n+1，
n=1时满足上式，
∴an=2n+1(n∈N*)…（2分）
∵f（x）+f（1-x）=1，
∴f(class="stub"1
n
)+f(class="stub"n-1
n
)=1，…（3分）
∵bn=f（0）+f（class="stub"1
n
）+f（class="stub"2
n
）…+f（class="stub"n-1
n
）+f（1），①
∴bn=f(1)+f(class="stub"n-1
n
)+f(class="stub"n-2
n
)+…+f（1）+f（0），②
∴①+②，得2bn=n+1∴bn=class="stub"n+1
2
．…（5分）
（2）∵cn=an•bn，
∴cn=(n+1)•2n…（6分）
∴Tn=2•21+3•22+4•23+…+(n+1)•2n，①
2Tn=2×22+3×23+4×24+…+（n+1）×2n+1，②
①-②，得-Tn=4+22+23+…+2n-(n+1)•2n+1…（8分）
即Tn=n•2n+1…（9分）
要使得不等式k（n2-9n+26）Tn＞4ncn恒成立，
∵（n2-9n+26）Tn＞0恒成立，
∴k＞
4ncn
(n2-9n+26)Tn
对于一切的n∈N*恒成立，
即k＞
2(n+1)
n2-9n+26
…（11分）
令g(n)=
2(n+1)
n2-9n+26
(n∈N*)，
则g(n)=
2(n+1)
(n+1)2-11(n+1)+36
=class="stub"2
(n+1)-11+class="stub"36
(n+1)
≤class="stub"2
2
(n+1)•class="stub"36
(n+1)
-11
=2
当且仅当n=5时等号成立，
∴g（n）max=2…（13分）
所以k＞2为所求．…（14分）

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网