数列{an}中an+1+an=3n-54(n∈N*).(1)若a1=-20,求数列的通项公式;(2)设Sn为{an}的前n项和,证明:当a1>-27时,有相同的n,使Sn与|an+1+an|都取最小值

题目简介

数列{an}中an+1+an=3n-54(n∈N*).(1)若a1=-20,求数列的通项公式;(2)设Sn为{an}的前n项和,证明:当a1>-27时,有相同的n,使Sn与|an+1+an|都取最小值

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数列{an}中an+1+an=3n-54(n∈N*)
(1)若a1=-20,求数列的通项公式;
(2)设Sn为{an}的前n项和,证明:当a1>-27时,有相同的n,使Sn与|an+1+an|都取最小值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵an+1+an=3n-54(n∈N*)
∴an+2+an+1=3n-51
∴两式相减得an+2-an=3,
∴a1,a3,a5,与a2,a4,a6,都是d=3的等差数列
∵a1=-20,∴a2=-31,
①当n为奇数时,an=class="stub"3n-43
2
;②当n为偶数时,an=class="stub"3n-68
2

∴an=
class="stub"3n-43
2
,n为奇数
class="stub"3n-68
2
,n为偶数

(2)n=18时,|an+1+an|有最小值0;
①当n为偶数时,Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-1+an)
=(3×1-54)+(3×3-54)+…+[3(n-1)-54]=3[1+3+5+…+(n-1)]-class="stub"n
2
×54=class="stub"3
4
n2-27n=class="stub"3
4
(n-18)2-243,
∴当n=18时,(Sn)min=-243;
②当n为奇数时,Sn=a1+(a2+a3)+…+(an-1+an)=class="stub"3
4
n2-27n+class="stub"105
4
+a1=class="stub"3
4
(n-18)2-216class="stub"3
4
+a1,
∴当n=17或19时(Sn)min=a1-216>-243;
综上,当n=18时(Sn)min=-243.
∴当a1>-27时,有相同的n,使Sn与|an+1+an|都取最小值.

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