首页 > 已知n∈N*，设Sn是单调递减的等比数列{an}的前n项和，a1=1，且S2+a2、S4+a4、S3+a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）数列x∈（0，+∞）满足b1=2a1，bn+

已知n∈N*，设Sn是单调递减的等比数列{an}的前n项和，a1=1，且S2+a2、S4+a4、S3+a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）数列x∈（0，+∞）满足b1=2a1，bn+

题目简介

已知n∈N*，设Sn是单调递减的等比数列{an}的前n项和，a1=1，且S2+a2、S4+a4、S3+a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）数列x∈（0，+∞）满足b1=2a1，bn+

题目详情

已知n∈N*，设Sn是单调递减的等比数列{an}的前n项和，a1=1，且S2+a2、S4+a4、S3+a3成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）数列x∈（0，+∞）满足b1=2a1，bn+1bn+bn+1-bn=0，求数列f（x）max≤0的通项公式；
（Ⅲ）在满足（Ⅱ）的条件下，若cn=
ancos(nπ)
bn
，求数列{cn}的前n项和Tn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（ I）设数列{an}的公比为q，由2（S4+a4）=S2+a2+S3+a3，
得（S4-S2）+（S4-S3）+2a4=a2+a3，即4a4=a2，
所以q2=class="stub"1
4
，
∵{an}是单调数列，
∴q=class="stub"1
2
，
∴an=(class="stub"1
2
)n-1．
（ II）b1=2，∵bn+1bn+bn+1-bn=0，
∴1+class="stub"1
bn
-class="stub"1
bn+1
=0，即class="stub"1
bn+1
-class="stub"1
bn
=1，
即{class="stub"1
bn
}是以class="stub"1
2
为首项，1为公差的等差数列，
故class="stub"1
bn
=class="stub"1
2
+（n-1）×1=class="stub"2n-1
2
，即bn=class="stub"2
2n-1
．
（ III）∵cn=
ancos(nπ)
bn
=class="stub"2n-1
2n
cos（nπ）=class="stub"2n-1
2n
•（-1）n=（2n-1）×(-class="stub"1
2
)n，
∴Tn=1×（-class="stub"1
2
）+3×(-class="stub"1
2
)2+5×(-class="stub"1
2
)3+…+（2n-1）×(-class="stub"1
2
)n，
-class="stub"1
2
Tn=1×(-class="stub"1
2
)2+3×(-class="stub"1
2
)3+…+（2n-3）×(-class="stub"1
2
)n+（2n-1）×(-class="stub"1
2
)n+1，
两式相减，得class="stub"3
2
Tn=1×（-class="stub"1
2
）+2[(-class="stub"1
2
)2+(-class="stub"1
2
)3+…+(-class="stub"1
2
)n-（2n-1）×(-class="stub"1
2
)n+1]
=class="stub"1
2
+2×
-class="stub"1
2
×[1-(-class="stub"1
2
)n]
1+class="stub"1
2
-（2n-1）×(-class="stub"1
2
)n+1
=class="stub"1
2
-class="stub"2
3
[1-(-class="stub"1
2
)n]-（2n-1）×(-class="stub"1
2
)n+1，
=-class="stub"1
6
+（n+class="stub"1
6
）•(-class="stub"1
2
)n，
即Tn=-class="stub"1
9
+class="stub"1
9
（6n+1）(-class="stub"1
2
)n．

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网