在数列{an}中,a1=-6×210,点(n,2a+1-an)在直线y=211x上,设bn=an+1-an+t,数列{bn}是等比数列.(1)求出实数t;(2)令cn=|log2bn|,问从第几项开始

题目简介

在数列{an}中,a1=-6×210,点(n,2a+1-an)在直线y=211x上,设bn=an+1-an+t,数列{bn}是等比数列.(1)求出实数t;(2)令cn=|log2bn|,问从第几项开始

题目详情

在数列{an}中,a1=-6×210,点(n,2a+1-an)在直线y=211x上,设bn=an+1-an+t,数列{bn}是等比数列.
(1)求出实数t;(2)令cn=|log2bn|,问从第几项开始,数列{cn}中连续20项之和为100?
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由题设知2an+1=an+211n,从而an+1=class="stub"1
2
(an+211n)

当n>1时,
bn
bn-1
=
an+1-an+t
an-an-1+t
=
an-an-1+211+t
2(an-an-1+t)

若{bn}是等比数列,则211+2t=t,
故t=-211.
(2)∵{bn}是以class="stub"1
2
为公比的等比数列,首项为a2-a1+t,
bn=(a2-a1-211)(class="stub"1
2
)n-1

a2=class="stub"1
2
(a1+211)=class="stub"1
2
(-6•210+211)
,a2-a1-211=211
bn=211(class="stub"1
2
)n-1=212-n

∴cn=|n-12|,
假设{cn}从第k项起连续20项之和为100,
当k≥12时,ck+ck+1+…+ck+19≥c12+c13+…+c31=190≥100不合题意,
当k<12时,ck+ck+1+…+ck+19=12-k+11-k+…+1+0+1+…+k+7=k2-5k+106=100
解得k=2或3,
所以数列{cn}从第二项或长三项起连续20项之和为100.

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