已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=(1+cos2nπ2)•an+sin2nπ2,则该数列的前10项的和为______.-数学

题目简介

已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=(1+cos2nπ2)•an+sin2nπ2,则该数列的前10项的和为______.-数学

题目详情

已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=(1+cos2
2
)•an+sin2
2
,则该数列的前10项的和为______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

因为a1=1,a2=2,所以a3=(1+cos2 class="stub"π
2
)a1+sin2 class="stub"π
2
=a1+1=2,a4=(1+cos2π)a2+sin2π=2a2=4.
一般地,当n=2k-1(k∈N*)时,a2k+1=[1+cos2
(2k-1)π
2
]a2k-1+sin2
(2k-1)π
2
=a2k-1+1,即a2k+1-a2k-1=1.
所以数列{a2k-1}是首项为1、公差为1的等差数列,因此a2k-1=k.
当n=2k(k∈N*)时,a2k+2=(1+cos2 class="stub"2kπ
2
)a2k+sin2 class="stub"2kπ
2
=2a2k.
所以数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列,因此a2k=2k.
该数列的前10项的和为1+2+2+4+3+8+4+16+5+32=77
故答案为:77

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