已知数列{an},an≥0,a1=0,an+12+an+1-1=an2(n∈N•).记Sn=a1+a2+…+an.Tn=11+a1+1(1+a1)(1+a2)+…+1(1+a1)(1+a2)…(1+a

题目简介

已知数列{an},an≥0,a1=0,an+12+an+1-1=an2(n∈N•).记Sn=a1+a2+…+an.Tn=11+a1+1(1+a1)(1+a2)+…+1(1+a1)(1+a2)…(1+a

题目详情

已知数列{an},an≥0,a1=0,an+12+an+1-1=an2(n∈N).记Sn=a1+a2+…+anTn=
1
1+a1
+
1
(1+a1)(1+a2)
+…+
1
(1+a1)(1+a2)…(1+an)

求证:当n∈N时,
(Ⅰ)an<an+1
(Ⅱ)Sn>n-2.
题型:解答题难度:中档来源:浙江

答案

(Ⅰ)证明:用数学归纳法证明.
①当n=1时,因为a2是方程x2+x-1=0的正根,所以a1<a2.
②假设当n=k(k∈N*)时,ak<ak+1,
因为ak+12-ak2=(ak+22+ak+2-1)-(ak+12+ak+1-1)=(ak+2-ak+1)(ak+2+ak+1+1),
所以ak+1<ak+2.
即当n=k+1时,an<an+1也成立.
根据①和②,可知an<an+1对任何n∈N*都成立.

(Ⅱ)证明:由ak+12+ak+1-1=ak2,k=1,2,…,n-1(n≥2),
得an2+(a2+a3+…+an)-(n-1)=a12.
因为a1=0,所以Sn=n-1-an2.
由an<an+1及an+1=1+an2-2an+12<1得an<1,
所以Sn>n-2.

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