首页 > 设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c，n∈N*，其中a，c为实数，且c≠0（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设a=12，c=12，bn=n(1-an)，n∈N*，求数列{bn}的前

设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c，n∈N*，其中a，c为实数，且c≠0（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设a=12，c=12，bn=n(1-an)，n∈N*，求数列{bn}的前

题目简介

设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c，n∈N*，其中a，c为实数，且c≠0（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设a=12，c=12，bn=n(1-an)，n∈N*，求数列{bn}的前

题目详情

设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c，n∈N*，其中a，c为实数，且c≠0
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设a=
1
2
，c=
1
2
，bn=n(1-an)，n∈N*，求数列{bn}的前n项和Sn；
（Ⅲ）若0＜an＜1对任意n∈N*成立，证明0＜c≤1．
题型：解答题难度：中档来源：安徽

答案

（Ⅰ）由题设得：n≥2时，an-1=c（an-1-1）=c2（an-2-1）=…=cn-1（a1-1）=（a-1）cn-1．
所以an=（a-1）cn-1+1．
当n=1时，a1=a也满足上式．
故所求的数列{an}的通项公式为：an=（a-1）cn-1+1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：bn=n(1-an)=n(class="stub"1
2
)n.Sn=b1+b2++bn=class="stub"1
2
+2(class="stub"1
2
)2+3(class="stub"1
2
)3++n(class="stub"1
2
)n，class="stub"1
2
Sn=(class="stub"1
2
)2+2(class="stub"1
2
)3+3(class="stub"1
2
)4++n(class="stub"1
2
)n+1
∴class="stub"1
2
Sn=class="stub"1
2
+(class="stub"1
2
)2+(class="stub"1
2
)3+(class="stub"1
2
)4++(class="stub"1
2
)n-n(class="stub"1
2
)n+1．
∴Sn=1+class="stub"1
2
+(class="stub"1
2
)2+(class="stub"1
2
)3+(class="stub"1
2
)4++(class="stub"1
2
)n-1-n(class="stub"1
2
)n=2[1-(class="stub"1
2
)n]-n(class="stub"1
2
)n
所以∴Sn=2-(n+2)(class="stub"1
2
)n．
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知an=（a-1）cn-1+1．
若0＜（a-1）cn-1+1＜1，则0＜（1-a）cn-1＜1．
因为0＜a1=a＜1，∴0＜cn-1＜class="stub"1
1-a
(n∈N+)．
由于cn-1＞0对于任意n∈N+成立，知c＞0．
下面用反证法证明c≤1．
假设c＞1．由函数f（x）=cx的图象知，当n→+∞时，cn-1→+∞，
所以cn-1＜class="stub"1
1-a
不能对任意n∈N+恒成立，导致矛盾．∴c≤1．因此0＜c≤1

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