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> 已知数列{an}中,a1=3,a2=5,Sn为其前n项和,且满足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1(n≥3,n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=nan-1,求数列{bn}的前n
已知数列{an}中,a1=3,a2=5,Sn为其前n项和,且满足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1(n≥3,n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=nan-1,求数列{bn}的前n
题目简介
已知数列{an}中,a1=3,a2=5,Sn为其前n项和,且满足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1(n≥3,n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=nan-1,求数列{bn}的前n
题目详情
已知数列{a
n
}中,a
1
=3,a
2
=5,S
n
为其前n项和,且满足S
n
+S
n-2
=2S
n-1
+2
n-1
(n≥3,n∈N
*
).
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)令b
n
=
n
a
n
-1
,求数列{b
n
}的前n项和T
n
;
(3)若f(x)=2
x-1
,c
n
=
1
a
n
a
n+1
,Q
n
=c
1
f(1)+c
2
f(2)+…+c
n
f(n),求证Q
n
<
1
6
(n∈N*).
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)由
S
n
+
S
n-2
=2
S
n-1
+
2
n-1
得
a
n
=
a
n-1
+
2
n-1
(n≥3,n∈N*)
,
∵a2=5,∴当n≥3时,an=a2+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=5+22+23+…+2n-1=2n+1,
经验证a1=3,a2=5也符合上式,
∴
a
n
=
2
n
+1(n∈
N
*
)
;
(2)由(1)可得
b
n
=
class="stub"n
a
n
-1
=
class="stub"n
2
n
,
∴
T
n
=
class="stub"1
2
+
class="stub"2
2
2
+
class="stub"3
2
3
+…+
class="stub"n
2
n
①
⇒
class="stub"1
2
T
n
=
class="stub"1
2
2
+
class="stub"2
2
3
+…+
class="stub"n-1
2
n
+
class="stub"n
2
n+1
②,
①-②有:
class="stub"1
2
T
n
=
class="stub"1
2
+
class="stub"1
2
2
+
class="stub"1
2
3
+…+
class="stub"1
2
n
-
class="stub"n
2
n+1
=1-
class="stub"1
2
n
-
class="stub"n
2
n+1
,
∴
T
n
=2-
class="stub"n+2
2
n
;
(3)∵
f(x)=
2
x-1
,
c
n
=
class="stub"1
a
n
a
n+1
,
∴
c
n
f(n)=
2
n-1
(
2
n
+1)(
2
n+1
+1)
=
class="stub"1
2
(
class="stub"1
2
n
+1
-
class="stub"1
2
n+1
+1
)(n∈N*)
,
∴Qn=c1f(1)+c2f(2)+…+cnf(n)
=
class="stub"1
2
[(
class="stub"1
2
1
+1
-
class="stub"1
2
2
+1
)+(
class="stub"1
2
2
+1
-
class="stub"1
2
3
+1
)+…+(
class="stub"1
2
n
+1
-
class="stub"1
2
n+1
+1
)]
=
class="stub"1
2
(
class="stub"1
1+2
-
class="stub"1
2
n+1
+1
)<
class="stub"1
2
×
class="stub"1
3
=
class="stub"1
6
.
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在数列{an}中,a1=2,a2=4,且当n≥2
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数列9,99,999,…的前n项和为()A.109(1
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题目简介
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经验证a1=3,a2=5也符合上式,
∴an=2n+1(n∈N*);
(2)由(1)可得bn=
∴Tn=
①-②有:
∴Tn=2-
(3)∵f(x)=2x-1,cn=
∴cnf(n)=
∴Qn=c1f(1)+c2f(2)+…+cnf(n)
=
=