若正数项数列{an}的前n项和为Sn,首项a1=1,点P(Sn,Sn+1)在曲线y=(x+1)2上.(1)求a2,a3;(2)求数列{an}的通项公式an;(3)设bn=1an•an+1,Tn表示数列

题目简介

若正数项数列{an}的前n项和为Sn,首项a1=1,点P(Sn,Sn+1)在曲线y=(x+1)2上.(1)求a2,a3;(2)求数列{an}的通项公式an;(3)设bn=1an•an+1,Tn表示数列

题目详情

若正数项数列{an}的前n项和为Sn,首项a1=1,点P(
Sn
,Sn+1)在曲线y=(x+1)2上.
(1)求a2,a3
(2)求数列{an}的通项公式an
(3)设bn=
1
anan+1
,Tn表示数列{bn}的前项和,若Tn≥a恒成立,求Tn及实数a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由题意可得,sn+1=(
sn
+1)2

分别取n=1和n=2时,可得
a1+a2=(1+
a1
)2
a1+a2+a3=(1+
a1+a2
)2

由a1=1可得,a2=3,a3=5
(2)由sn+1=(
sn
+1)2
可得
sn
-
sn-1
=1
∴{sn}是以
s1
为首项,以1为公差的等差数列
sn
=1+(n-1)×1=n

∴sn=n2
当n≥2时,an=n2-(n-1)2=2n-1
∴an=2n-1
(3)∵bn=class="stub"1
(2n-1)(2n+1)
=class="stub"1
2
(class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)

Tn=class="stub"1
2
(1-class="stub"1
3
+class="stub"1
3
-class="stub"1
5
+…+class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1

=class="stub"1
2
(1-class="stub"1
2n+1
)=class="stub"n
2n+1

显然Tn关于n单调递增,当n=1时,Tn有最小值T1=class="stub"1
3

∵Tn≥a恒成立
a≤class="stub"1
3

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