已知正项等比数列{an}(n∈N*),首项a1=3,前n项和为Sn,且S3+a3、S5+a5、S4+a4成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{nSn}的前n项和Tn.-高三数学

题目简介

已知正项等比数列{an}(n∈N*),首项a1=3,前n项和为Sn,且S3+a3、S5+a5、S4+a4成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{nSn}的前n项和Tn.-高三数学

题目详情

已知正项等比数列{an}(n∈N*),首项a1=3,前n项和为Sn,且S3+a3、S5+a5、S4+a4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{nSn}的前n项和Tn
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)设正项等比数列{an}(n∈N*),又a1=3,∴an=3qn-1
∵S3+a3、S5+a5、S4+a4成等差数列,
∴2(S5+a5)=(S3+a3)+(S4+a4),
即2(a1+a2+a3+a4+2a5)=(a1+a2+2a3)+(a1+a2+a3+2a4),
化简得4a5=a3,
4a1q4=a1q2,化为4q2=1,
解得q=±class="stub"1
2

∵{an}(n∈N*)是单调数列,
q=class="stub"1
2
an=class="stub"6
2n

(2)由(1)知Sn=6(1-class="stub"1
2n
)

Tn=6(1-class="stub"1
2
)+6(2-class="stub"2
22
)+6(3-class="stub"3
23
)+…+6(n-class="stub"n
2n
)

Tn=3n(n+1)-6(class="stub"1
2
+class="stub"2
22
+class="stub"3
23
+…+class="stub"n
2n
)

Rn=class="stub"1
2
+class="stub"2
22
+class="stub"3
23
+…+class="stub"n
2n
,则2Rn=1+class="stub"2
2
+class="stub"3
22
+…+class="stub"n
2n-1

两式相减得Rn=1+class="stub"1
2
+class="stub"1
22
+class="stub"1
23
+…+class="stub"1
2n-1
-class="stub"n
2n
=2-class="stub"n+2
2n

Tn=3n(n+1)-6Rn=3n(n+1)-12+
3(n+2)
2n-1

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