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已知函数f（x）=log33x1-x，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）图象上的两点，横坐标为12的点P满足2OP=OM+ON（O为坐标原点）．（Ⅰ）求证：y1+y2为定值；（Ⅱ）若Sn=f

题目简介

已知函数f（x）=log33x1-x，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）图象上的两点，横坐标为12的点P满足2OP=OM+ON（O为坐标原点）．（Ⅰ）求证：y1+y2为定值；（Ⅱ）若Sn=f

题目详情

已知函数f（x）=log3
3
x
1-x
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）图象上的两点，横坐标为
1
2
的点P满足2
OP
=
OM
+
ON
（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求证：y1+y2为定值；
（Ⅱ）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*，且n≥2，求Sn；
（Ⅲ）已知an=
1
6
，                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
，其中n∈N*，Tn为数列{an}的前n项和，若Tn＜m（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，试求m的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：闵行区二模

答案

（1）由已知可得，
OP
=class="stub"1
2
(
OM
+
ON
)，
∴P是MN的中点，有x1+x2=1．
∴y1+y2=f（x1）+f（x2）
=log3
3
x1
1-x1
+log3
3
x2
1-x2

=log3(
3
x1
1-x1
•
3
x2
1-x2
)
=log3
3x1x2
(1-x1)(1-x2)

=log3
3x1x2
1-(x1+x2)+x1x2

=log3
3x1x2
1-1+x1x2
=1．
（2）由（Ⅰ）知当x1+x2=1时，y1+y2=f（x1）+f（x1）=1
Sn=f(class="stub"1
n
)+f(class="stub"2
n
)++f(class="stub"n-1
n
)，
Sn=f(class="stub"n-1
n
)++f(class="stub"2
n
)+f(class="stub"1
n
)，
相加得
2Sn=[f(class="stub"1
n
)+f(class="stub"n-1
n
)]+[(class="stub"2
n
)+f(class="stub"n-2
n
)]++[f(class="stub"n-1
n
)+f(class="stub"1
n
)]
=
1+1++1
(n-1)个1

=n-1
∴Sn=class="stub"n-1
2
．
（3）当n≥2时，
an=class="stub"1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
=class="stub"1
4×class="stub"n+1
2
•class="stub"n+2
2
=class="stub"1
(n+1)(n+2)
=class="stub"1
n+1
-class="stub"1
n+2
．
又当n=1时，
a1=class="stub"1
6
=class="stub"1
2
-class="stub"1
3
．
∴an=class="stub"1
n+1
-class="stub"1
n+2
．
Tn=(class="stub"1
2
-class="stub"1
3
)+(class="stub"1
3
-class="stub"1
4
)+…+(class="stub"1
n+1
-class="stub"1
n+2
)=class="stub"n
2(n+2)
．
由于Tn＜m（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，
m＞
Tn
Sn+1+1
=class="stub"n
(n+2)2
=class="stub"1
n+class="stub"4
n
+4

∵n+class="stub"4
n
≥4，当且仅当n=2时，取“=”，
∴class="stub"1
n+class="stub"4
n
+4
≤class="stub"1
4+4
=class="stub"1
8

因此m＞class="stub"1
8
．
综上可知，m的取值范围是(class="stub"1
8
，+∞)．

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