在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N．（Ⅰ）证明数列{an-n}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn；（Ⅲ）证明不等式Sn+1≤4Sn，对任意n∈N皆成立．-高

题目简介

在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*．（Ⅰ）证明数列{an-n}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn；（Ⅲ）证明不等式Sn+1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立．-高

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）证明数列{a_n-n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）证明不等式S_n+1≤4S_n，对任意n∈N^*皆成立．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（Ⅰ）证明：由题设an+1=4an-3n+1，得an+1-（n+1）=4（an-n），n∈N*．
又a1-1=1，所以数列{an-n}是首项为1，且公比为4的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知an-n=4n-1，于是数列{an}的通项公式为an=4n-1+n．
所以数列{an}的前n项和Sn=

4n-1

n(n+1)

．
（Ⅲ）证明：对任意的n∈N*，Sn+1-4Sn=

4n+1-1

(n+1)(n+2)

-4(

4n-1

n(n+1)

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(3n2+n-4)≤0．
所以不等式Sn+1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立．