数列{an}满足an=2an-1+2n+1（n∈N，n≥2），a3=27．（Ⅰ）求a1，a2的值；（Ⅱ）记bn=12n(an+t)(n∈N*)，是否存在一个实数t，使数列{bn}为等差数列？若存在，求

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数列{a_n}满足 a_n=2a_n-1+2ⁿ+1（n∈N，n≥2），a₃=27．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）记bn=

(an+t)(n∈N*)，是否存在一个实数t，使数列{b_n}为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）由a3=27，27=2a2+23+1----------（1分）∴a2=9----------（2分）
∴9=2a1+22+1∴a1=2------------（3分）
（Ⅱ）假设存在实数t，使得{bn}为等差数列．
则2bn=bn-1+bn+1------------（4分）∴2×class="stub"1

(a n+t)=class="stub"1

2n-1

(a n-1+t)+class="stub"1

2n+1

(a n+1+t)
∴4an=4an-1+an+1+t------------（5分）∴4a n=4×

a n-2n-1

+2a n+2n+1+t+1∴t=1------------（6分）
存在t=1，使得数列{bn}为等差数列．------------（7分）
（Ⅲ）由（1）、（2）知：b 1=class="stub"3

，b 2=class="stub"5

------------（8分）
又{bn}为等差数列.b n=n+class="stub"1

∴a n=(n+class="stub"1

)•2n-1=(2n+1)•2n-1-1------------（9分）
∴Sn=3×20-1+5×21-1+7×22-1+…+（2n+1）×2n-1-1=3+5×2+7×22+…+（2n+1）×2n-1-n
∴2Sn=3×2+5×22+7×23+…+（2n+1）×2n-2n∴-Sn=3+2×2+2×22+2×23+…+2×2n-1-（2n+1）×2n+n----------（11分）=1+2×

1-2n

1-2

-(2n+1)×2n+n
=（1-2n）×2n+n-1Sn=（2n-1）×2n-n+1------------（13分）

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数列{an}满足an=2an-1+2n+1（n∈N，n≥2），a3=27．（Ⅰ）求a1，a2的值；（Ⅱ）记bn=12n(an+t)(n∈N*)，是否存在一个实数t，使数列{bn}为等差数列？若存在，求

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