已知无穷数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=Aa2n+Ban+C,其中A、B、C是常数.(1)若A=0,B=3,C=-2,求数列{an}的通项公式;(2)若A=1,B=12,C=116,且an>

题目简介

已知无穷数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=Aa2n+Ban+C,其中A、B、C是常数.(1)若A=0,B=3,C=-2,求数列{an}的通项公式;(2)若A=1,B=12,C=116,且an>

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已知无穷数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=A
a2n
+Ban+C
,其中A、B、C是常数.
(1)若A=0,B=3,C=-2,求数列{an}的通项公式;
(2)若A=1,B=
1
2
C=
1
16
,且an>0,求数列{an}的前n项和Sn
(3)试探究A、B、C满足什么条件时,数列{an}是公比不为-1的等比数列.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵Sn=A
a2n
+Ban+C
,A=0,B=3,C=-2,
∴Sn=3an-2,
∴当n=1时,a1=3a1-2,解得a1=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3an-3an-1,
整理,得2an=3an-1,
an
an-1
=class="stub"3
2

an=(class="stub"3
2
)n-1

(2)∵Sn=A
a2n
+Ban+C
,A=1,B=class="stub"1
2
,C=class="stub"1
16

Sn=
a2n
+class="stub"1
2
an+class="stub"1
16

∴当n=1时,a1=
a21
+class="stub"1
2
a1+class="stub"1
16
,解得a1=class="stub"1
4

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=
a2n
-
a2n-1
+class="stub"1
2
an-class="stub"1
2
an-1

整理,得(an+an-1)(an-an-1-class="stub"1
2
)=0

∵an>0,∴an-an-1=class="stub"1
2

∴{an}是首项为class="stub"1
4
,公差为class="stub"1
2
的等差数列,
Sn=class="stub"n
4
+
n(n-1)
4
=
n2
4

(3)若数列{an}是公比为q的等比数列,
①当q=1时,an=a1,Sn=na1
Sn=A
a2n
+Ban+C
,得na1=A
a21
+Ba1+C
恒成立
∴a1=0,与数列{an}是等比数列矛盾;
②当q≠±1,q≠0时,an=a1qn-1Sn=
a1
q-1
qn-
a1
q-1

Sn=A
a2n
+Ban+C
恒成立,
a21
q2
×q2n+(B×
a1
q
-
a1
q-1
qn+C+
a1
q-1
=0
对于一切正整数n都成立
∴A=0,B=class="stub"q
q-1
≠1
class="stub"1
2
或0,C≠0,
事实上,当A=0,B≠1或class="stub"1
2
或0,C≠0时,
Sn=Ban+Ca1=class="stub"C
1-B
≠0

n≥2时,an=Sn-Sn-1=Ban-Ban-1,
an
an-1
=class="stub"B
B-1
≠0
或-1
∴数列{an}是以class="stub"C
1-B
为首项,以class="stub"B
B-1
为公比的等比数列.

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