已知等差数列{an}中,a3=7,a1+a2+a3=12,令bn=an•an+1,数列{1bn}的前n项和为Tn.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:Tn<13;(3)是否存在正整数m,n,且

题目简介

已知等差数列{an}中,a3=7,a1+a2+a3=12,令bn=an•an+1,数列{1bn}的前n项和为Tn.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:Tn<13;(3)是否存在正整数m,n,且

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已知等差数列{an} 中,a3=7,a1+a2+a3=12,令bn=an•an+1,数列{
1
bn
}的前n项和为Tn
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:Tn
1
3

(3)是否存在正整数m,n,且1<m<n,使得T1,Tm,Tn成等比数列?若存在,求出m,n的值,若不存在,请说明理由.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)设数列{an}的公差为d,由
a3=a1+2d=7
a1+a2+a3=3a1+3d=12
解得
a1=1
d=3
.∴an=1+(n-1)×3=3n-2.
(2)∵an=3n-2,an+1=3n+1,∴bn=an•an+1=(3n-2)(3n+1),
class="stub"1
bn
=class="stub"1
(3n-2)(3n+1)
=class="stub"1
3
(class="stub"1
3n-2
-class="stub"1
3n+1
)

Tn=class="stub"1
3
(1-class="stub"1
3n+1
)<class="stub"1
3

(3)由(2)知,Tn=class="stub"n
3n+1
,∴T1=class="stub"1
4
Tm=class="stub"m
3m+1

∵T1,Tm,Tn成等比数列,∴(class="stub"m
3m+1
)2=class="stub"1
4
•class="stub"n
3n+1
,即class="stub"6m+1
m2
=class="stub"3n+4
n

当m=2时,class="stub"13
4
=class="stub"3n+4
n
,n=16,符合题意;
当m=3时,class="stub"19
9
=class="stub"3n+4
n
,n无正整数解;
当m=4时,class="stub"25
16
=class="stub"3n+4
n
,n无正整数解;
当m=5时,class="stub"31
25
=class="stub"3n+4
n
,n无正整数解;
当m=6时,class="stub"37
36
=class="stub"3n+4
n
,n无正整数解;
当m≥7时,m2-6m-1=(m-3)2-10>0,则class="stub"6m+1
m2
<1
,而class="stub"3n+4
n
=3+class="stub"4
n
>3

所以,此时不存在正整数m,n,且1<m<n,使得T1,Tm,Tn成等比数列.
综上,存在正整数m=2,n=16,且1<m<n,使得T1,Tm,Tn成等比数列.

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