设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n-1．数列{bn}满足b1=2，bn+1-2bn=8an．（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明：数列{bn2n}为等差数列，并求{bn}的前n项和Tn

题目简介

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2ⁿ-1．数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1-2b_n=8a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：数列{

}为等差数列，并求{b_n}的前n项和T_n．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）当n=1时，a1=s1=21-1=1；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（2n-1）-（2n-1-1）=2n-1，
a1=1适合通项公式an=2n-1，
∴an=2n-1（n∈N*）；
（2）∵bn+1-2bn=8an，
∴bn+1-2bn=2n+2，
∴

bn+1

2n+1

=2，又

=1，
∴{

}是首项为1，公差为2的等等差数列．
∴

=1+2（n-1）=2n-1，
∴bn=（2n-1）×2n．
∴Tn=1×2+3×22+5×23+…+（2n-1）×2n，
∴2Tn=1×22+3×23+…+（2n-3）×2n+（2n-1）×2n+1，
∴-Tn=2+2（22+23+…+2n）-（2n-1）×2n+1
=2+2×

22(1-2n-1)

1-2

-（2n-1）×2n+1
=2n+2-6-（2n-1）×2n+1，
=（3-2n）•2n+1-6，
∴Tn=（2n-3）•2n+1+6．