定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x)-f2(x)+12,f(1)=1,已知an=f2(n)-f(n),则数列{an}的前40项和______.-数学

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定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x)-f2(x)+12,f(1)=1,已知an=f2(n)-f(n),则数列{an}的前40项和______.-数学

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定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=
f(x)-f2(x)
+
1
2
,f(1)=1,已知an=f2(n)-f(n),则数列{an}的前40项和______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

∵f(x+1)=
f(x)-f2(x)
+class="stub"1
2

∴f(x+1)-class="stub"1
2
=
f(x)-f2(x)

两边平方,得[f(x+1)-class="stub"1
2
]2=f(x)-f2(x)
化简得[f2(x+1)-f(x+1)]-[f2(x)-f(x)]=-class="stub"1
4

∵an=f2(n)-f(n),可得an+1=f2(n+1)-f(n+1),
∴an+1-an=[f2(n+1)-f(n+1)]-[f2(n)-f(n)]=-class="stub"1
4

可得{an}构成公差d=-class="stub"1
4
的等差数列
∵f(1)=1,得a1=f2(1)-f(1)=0
∴{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=class="stub"1
4
(1-n)
因此,数列{an}的前40项和为S40=
40(a1+a40)
2
=20×(-class="stub"39
4
)=-195
故答案为:-195

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