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已知α为锐角，且tanα=2-1，函数f（x）=2xtan2a+sin（2a+π4），数列{an}的首项a1=1，an+1=f（an）．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和S

题目简介

已知α为锐角，且tanα=2-1，函数f（x）=2xtan2a+sin（2a+π4），数列{an}的首项a1=1，an+1=f（an）．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和S

题目详情

已知α为锐角，且tanα=
2
-1，函数f（x）=2xtan2a+sin（2a+
π
4
），数列{an}的首项a1=1，an+1=f（an）．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和Sn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）∵tanα=
2
-1，
∴tan2α=class="stub"2tanα
1-tan2α
=
2(
2
-1)
1-(
2
-1)2
=1，又α为锐角，
∴2α=class="stub"π
4
，
∴sin（2α+class="stub"π
4
）=1，
∴f（x）=2x+1；
（Ⅱ）∵an+1=f（an）=2an+1，
∴an+1+1=2（an+1），
∵a1=1，
∴数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴an+1=2•2n-1=2n，
∴an=2n-1，
∴nan=n•2n-n，
下面先求{n•2n}的前n项和Tn：
Tn=1×2+2×22+3×23+…+（n-1）•2n-1+n•2n，
2Tn=1×22+2×23+…+（n-1）•2n+n•2n+1，
两式相减得：-Tn=2+22+23+…+2n-n•2n+1
=
2-2n+1
1-2
-n•2n+1
=2n+1-2-n•2n+1，
∴Tn=2+（n-1）•2n+1，
∴Sn=2+（n-1）•2n+1-
(1+n)n
2
．

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