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已知两个数列{Sn}、{Tn}分别：当n∈N*，Sn=1-12+13-14+…+12n-1-12n，Tn=1n+1+1n+2+1n+3+…+12n．（1）求S1，S2，T1，T2；（2）猜想Sn与Tn

题目简介

已知两个数列{Sn}、{Tn}分别：当n∈N*，Sn=1-12+13-14+…+12n-1-12n，Tn=1n+1+1n+2+1n+3+…+12n．（1）求S1，S2，T1，T2；（2）猜想Sn与Tn

题目详情

已知两个数列{Sn}、{Tn}分别：
当n∈N*，Sn=1-
1
2
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2n-1
-
1
2n
，Tn=
1
n+1
+
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
2n
．
（1）求S1，S2，T1，T2；
（2）猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）S1=1-class="stub"1
2
=class="stub"1
2
，S2=1-class="stub"1
2
+ class="stub"1
3
-class="stub"1
4
=class="stub"7
12

T1=class="stub"1
1+1
=class="stub"1
2
，T2=class="stub"1
2+1
+class="stub"1
2+2
=class="stub"7
12
（2分）
（2）猜想：Sn=Tn（n∈N*），即：
1-class="stub"1
2
+class="stub"1
3
-class="stub"1
4
+…+class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n
=class="stub"1
n+1
+class="stub"1
n+2
+class="stub"1
n+3
+…+class="stub"1
2n
．
（n∈N*）（5分）
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，已证S1=T1（6分）
②假设n=k时，Sk=Tk（k≥1，k∈N*），
即：1-class="stub"1
2
+class="stub"1
3
-class="stub"1
4
+…+class="stub"1
2k-1
-class="stub"1
2k
=class="stub"1
k+1
+class="stub"1
k+2
+class="stub"1
k+3
+…+class="stub"1
2k
（8分）
则：Sk+1=Sk+class="stub"1
2k+1
-class="stub"1
2(k+1)
=Tk+class="stub"1
2k+1
-class="stub"1
2(k+1)
（10分）
=class="stub"1
k+1
+class="stub"1
k+2
+class="stub"1
k+3
+…+class="stub"1
2k
+class="stub"1
2k+1
-class="stub"1
2(k+1)
（11分）
=class="stub"1
k+2
+class="stub"1
k+3
+…+class="stub"1
2k+1
+(class="stub"1
k+1
-class="stub"1
2(k+1)
)
=class="stub"1
(k+1)+1
+class="stub"1
(k+1)+2
+…+class="stub"1
2k+1
+class="stub"1
2(k+1)
=Tk+1，
由①，②可知，对任意n∈N*，Sn=Tn都成立．（14分）

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