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> 已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f(x)=2x1-2x，x≠12-1，x=12的图象上的任意两点，点M在直线x=12上，且AM=MB．（1）求x1+x2的值及y1+y2的值；（2）已知S1
已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f(x)=2x1-2x，x≠12-1，x=12的图象上的任意两点，点M在直线x=12上，且AM=MB．（1）求x1+x2的值及y1+y2的值；（2）已知S1
题目简介
已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f(x)=2x1-2x，x≠12-1，x=12的图象上的任意两点，点M在直线x=12上，且AM=MB．（1）求x1+x2的值及y1+y2的值；（2）已知S1
题目详情
已知A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
）是函数
f(x)=
2x
1-2x
，x≠
1
2
-1，x=
1
2
的图象上的任意两点，点M在直线
x=
1
2
上，且
AM
=
MB
．
（1）求x
1
+x
2
的值及y
1
+y
2
的值；
（2）已知S
1
=0，当n≥2时，
S
n
=f(
1
n
)+f(
2
n
)+f(
3
n
)+…+f(
n-1
n
)
，设
a
n
=
2
S
n
，T
n
为数列{a
n
}的前n项和，若存在正整数c，m，使得不等式
T
m
-c
T
m+1
-c
＜
1
2
成立，求c和m的值．
（3）在（2）的条件下，设
b
n
=
3
1-
S
n
，求所有可能的乘积b
i
•b
j
（1≤i≤j≤n）的和．
题型：解答题
难度：中档
来源：不详
答案
（1）根据点M在直线
x=
class="stub"1
2
上，设
M(
class="stub"1
2
，
y
M
)
，则
AM
=(
class="stub"1
2
-
x
1
，
y
M
-
y
1
)
，
MB
=(
x
2
-
class="stub"1
2
，
y
2
-
y
M
)
，
∵
AM
=
MB
，∴x1+x2=1．
①当
x
1
=
class="stub"1
2
时，x2=
class="stub"1
2
，y1+y2=f（x1）+f（x2）=-1-1=-2；
②当x1≠
class="stub"1
2
时，x2≠
class="stub"1
2
，
y
1
+
y
2
=-2
2
x
1
1-2
x
1
+
2
x
2
1-2
x
2
=
2
x
1
(1-2
x
2
)+2
x
2
(1-2
x
1
)
(1-2
x
1
)(1-2
x
2
)
=
2(
x
1
+
x
2
)-8
x
1
x
2
1-2(
x
1
+
x
2
)+4
x
1
x
2
=
2(1-4
x
1
x
2
)
4
x
1
x
2
-1
=-2
；
综合①②得，y1+y2=-2．
（2）由（1）知，当x1+x2=1时，y1+y2=-2．
∴
f(
class="stub"k
n
)+f(
class="stub"n-k
n
)=-2
，k=0，1，2，…，n-1，
∴n≥2时，Sn=
f(
class="stub"1
n
)
+
f(
class="stub"2
n
)
+
f(
class="stub"3
n
)
+
…+f(
class="stub"n-1
n
)
，①Sn=
f(
class="stub"n-1
n
)+f(
class="stub"n-2
n
)+f(
class="stub"n-3
n
)+…+f(
class="stub"1
n
)
，②
①+②得，2Sn=-2（n-1），则Sn=1-n．
又n=1时，S1=0满足上式，∴Sn=1-n．
∴
a
n
=
2
S
n
=
2
1-n
，∴Tn=
1+
class="stub"1
2
+…+(
class="stub"1
2
)
n-1
=
2-
class="stub"2
2
n
．
∵
T
m
-c
T
m+1
-c
＜
class="stub"1
2
，∴
2(
T
m
-c)-(
T
m+1
-c)
2(
T
m+1
-c)
＜0
∴
c-(2
T
m
-
T
m+1
)
c-
T
m+1
＜0
∵
T
m+1
=2-
class="stub"1
2
m
，∴
2
T
m
-
T
m+1
=4-
class="stub"4
2
m
-2+
class="stub"1
2
m
=2-
class="stub"3
2
m
，
∴
class="stub"1
2
≤2-
class="stub"3
2
m
＜c＜2-
class="stub"1
2
m
＜2
，c，m为正整数，∴c=1，
当c=1时，
2-
class="stub"3
2
m
＜1
2-
class="stub"1
2
m
＞1
，∴1＜2m＜3，∴m=1．
（3）
b
n
=
3
1-
S
n
=3n，
b
i
b
j
=
3
i+j
，(1≤i≤j≤n)
．
将所得的积排成如下矩阵：
A=
3
1+1
3
1+2
3
1+3
…
3
1+n
3
2+2
3
2+3
…
3
2+n
3
3+3
…
3
3+n
…
…
3
n+n
，设矩阵A的各项和为S．
在矩阵的左下方补上相应的数可得
B=
3
1+1
3
1+2
3
1+3
…
3
1+n
3
2+1
3
2+2
3
2+3
…
3
2+n
3
3+1
3
3+2
3
3+3
…
3
3+n
…
…
…
…
…
3
n+1
3
n+2
3
n+3
…
3
n+n
矩阵B中第一行的各数和
S
1
=
3
2
+
3
3
+…+
3
1+n
=
class="stub"1
2
(
3
n+2
-9)
，
矩阵B中第二行的各数和
S
2
=
3
3
+
3
4
+…+
3
2+n
=
class="stub"3
2
(
3
n+2
-9)
，
…
矩阵B中第n行的各数和
S
n
=
3
n+1
+
3
n+2
+…+
3
n+n
=
3
n-1
2
(
3
n+2
-9)
，
从而矩阵B中的所有数之和为
S
1
+
S
2
+…+
S
n
=
class="stub"9
4
(
3
n
-1
)
2
．
所以
S=
class="stub"1
2
[
class="stub"9
4
(
3
n
-1)
2
-(
3
2
+
3
4
+…+
3
2n
)]=
9×
3
2n
-36×
3
n
+27
16
．
上一篇 :
设an（n=2，3，4…）是(3+x)n展开式中x
下一篇 :
已知{an}是等差数列，其中a10=30
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∵
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②当x1≠
=
综合①②得，y1+y2=-2．
（2）由（1）知，当x1+x2=1时，y1+y2=-2．
∴f(
∴n≥2时，Sn=f(
①+②得，2Sn=-2（n-1），则Sn=1-n．
又n=1时，S1=0满足上式，∴Sn=1-n．
∴an=2Sn=21-n，∴Tn=1+
∵
∴
∵Tm+1=2-
∴
当c=1时，
（3）bn=31-Sn=3n，bibj=3i+j，(1≤i≤j≤n)．
将所得的积排成如下矩阵：A=
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…
矩阵B中第n行的各数和Sn=3n+1+3n+2+…+3n+n=
从而矩阵B中的所有数之和为S1+S2+…+Sn=
所以S=