已知数列{an}的前n项和Sn=12n-n2(Ⅰ)求数列{an}的通项公式,并证明{an}是等差数列;(Ⅱ)若cn=12-an,求数列{1cn•cn+1}的前n项和Tn.-高二数学

题目简介

已知数列{an}的前n项和Sn=12n-n2(Ⅰ)求数列{an}的通项公式,并证明{an}是等差数列;(Ⅱ)若cn=12-an,求数列{1cn•cn+1}的前n项和Tn.-高二数学

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已知数列{an}的前n项和Sn=12n-n2
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式,并证明{an}是等差数列;
(Ⅱ)若cn=12-an,求数列{
1
cncn+1
}
的前n项和Tn
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

解( I)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=12n-n2-[12(n-1)-(n-1)2]=13-2n,
当n=1时,a1=S1=12-1=11适合上式,
∴an=13-2n,
∴当n∈N*时,an+1-an=13-2(n+1)-(13-2n)=-2为定值,
∴数列{an}是等差数列;
( II)∵cn=12-an=12-(13-2n)=2n-1,n∈N*,
class="stub"1
cncn+1
=class="stub"1
(2n-1)(2n+1)
=class="stub"1
2
class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
),
∴Sn=class="stub"1
2
[(1-class="stub"1
3
)+(class="stub"1
3
-class="stub"1
5
)+…+(class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)]=class="stub"1
2
(1-class="stub"1
2n+1
)=class="stub"n
2n+1

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