设an(n=2,3,4…)是(3+x)n展开式中x的一次项的系数,则20102009(32a2+33a3+…+32010a2010)的值是______.-高二数学

题目简介

设an(n=2,3,4…)是(3+x)n展开式中x的一次项的系数,则20102009(32a2+33a3+…+32010a2010)的值是______.-高二数学

题目详情

设an(n=2,3,4…)是(3+
x
)n
展开式中x的一次项的系数,则
2010
2009
(
32
a2
+
33
a3
+…+
32010
a2010
)
的值是______.
题型:填空题难度:偏易来源:不详

答案

(3+
x
)n
展开式的通项为
Crn
3n-r(
x
)
r
=
3n-rCrn
xclass="stub"r
2
,令class="stub"r
2
=1
,得r=2.展开式中x的一次项的系数为3n-2Cn2,即an=3n-2Cn2 (n≥2).
我∴
3n
an
=
32
C2n
=class="stub"18
n(n-1)
=18(class="stub"1
n-1
-class="stub"1
n
),,∴class="stub"2010
2009
(
32
a2
+
33
a3
+…+
32010
a2010
)
=class="stub"2010
2009
×18×(1-class="stub"1
2
+class="stub"1
2
-class="stub"1
3
+…class="stub"1
2009
-class="stub"1
2010
)=18×class="stub"2010
2009
×(1-class="stub"1
2010
)
=18×1=18
故答案为:18.

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