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定义一种新运算，满足nk=nλk-1（n，k∈Nλ为非零常数）．（1）对于任意给定的k，设an=nk（n=1，2，3，…），证明：数列{an}是等差数列；（2）对于任意给定的n，设bk=n*k

题目简介

定义一种新运算*，满足n*k=nλk-1（n，k∈N*λ为非零常数）．（1）对于任意给定的k，设an=n*k（n=1，2，3，…），证明：数列{an}是等差数列；（2）对于任意给定的n，设bk=n*k

题目详情

定义一种新运算*，满足n*k=nλ^k-1（n，k∈N^*λ为非零常数）．
（1）对于任意给定的k，设a_n=n*k（n=1，2，3，…），证明：数列{a_n}是等差数列；
（2）对于任意给定的n，设b_k=n*k（k=1，2，3…），证明：数列{b_k}是等比数列；
（3）设c_n=n*n（n=1，2，3，..），试求数列{c_n}的前n项和S_n．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）证明：∵n*k=nλk-1（n，k∈N*λ为非零常数），
∴an=n*k=nλk-1（n=1，2，3，…），
∴an+1-an=（n+1）λk-1-nλk-1=λk-1．
∵k，λ为非零常数，∴数列{an}是等差数列．
（2）证明：∵n*k=nλk-1（n，k∈N*，λ为非零常数），
∴bk=n*k=nλk-1（k=1，2，3，…），
∴

bk+1

bk

=

nλk

nλk-1

=λ．
∵λ为非零常数，
∴数列{bk}是等比数列．
（3）∵n*k=nλk-1（n，k∈N*，λ为非零常数），
∴n*n=nλn-1．
则Sn=c1+c2+…+cn=λ0+2λ+3λ2+…+nλn-1，
①当λ=1时，Sn=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

．
②当λ≠1时，λSn=λ+2λ2+3λ3+…+nλn．
①-②得：（1-λ）Sn=1+λ+λ2+…+λn-1-nλn，
∴Sn=

1-λn

(1-λ)2

-

nλn

1-λ

，
综上可知，Sn=

n(n+1)

2

，当λ=1时

1-λn

(1-λ)2

-

nλn

1-λ

，当λ≠1时

．

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