首页 > 设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=4an+2n+1，n∈N*．（1）求证：{an-2}是等比数列；（2）求数列{nan}前n项和Tn．-高二数学

设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=4an+2n+1，n∈N*．（1）求证：{an-2}是等比数列；（2）求数列{nan}前n项和Tn．-高二数学

题目简介

设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=4an+2n+1，n∈N*．（1）求证：{an-2}是等比数列；（2）求数列{nan}前n项和Tn．-高二数学

题目详情

设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=4an+2n+1，n∈N*．
（1）求证：{an-2}是等比数列；
（2）求数列{nan}前n项和Tn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵Sn=4an+2n+1，
∴S1=4a1+3，而S1=a1，
∴a1=-1；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1
=（4an+2n+1）-[4an-1+2（n-1）+1]
=4an-4an-1+2，
∴3an+2=4an-1，
∴3an-6=4an-1-8，即3（an-2）=4（an-1-2），又a1-2=-3，
∴{an-2}是以-3为首项，公比为class="stub"4
3
等比数列．
∴an-2=-3×(class="stub"4
3
)n-1，
∴an=2-3×(class="stub"4
3
)n-1．
（2）∵an=2-3×(class="stub"4
3
)n-1，令bn=nan，
则bn=nan=2n-3n×(class="stub"4
3
)n-1，
∴Tn=b1+b2+…+bn
=2（1+2+3+…+n）-3[1×(class="stub"4
3
)0+2×(class="stub"4
3
)1+3×(class="stub"4
3
)2+…+n×(class="stub"4
3
)n-1]．
令Cn=1×(class="stub"4
3
)0+2×(class="stub"4
3
)1+3×(class="stub"4
3
)2+…+n×(class="stub"4
3
)n-1①，
class="stub"4
3
Cn=1×(class="stub"4
3
)1+2×(class="stub"4
3
)2+…+（n-1）×(class="stub"4
3
)n-1+n×(class="stub"4
3
)n②，
①-②得：-class="stub"1
3
Cn=(class="stub"4
3
)0+(class="stub"4
3
)1+(class="stub"4
3
)2+…+(class="stub"4
3
)n-1-n×(class="stub"4
3
)n
=
1-(class="stub"4
3
)n
1-class="stub"4
3
-n×(class="stub"4
3
)n
=-3（1-(class="stub"4
3
)n）-n×(class="stub"4
3
)n
=（3-n）×(class="stub"4
3
)n-3，
∴Cn=（3n-9）×(class="stub"4
3
)n+9．
∴Tn=2×
n(1+n)
2
-3[（3n-9）×(class="stub"4
3
)n+9]
=-（9n-27）×(class="stub"4
3
)n+n2+n-27．

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