已知数列{an}，Sn是其n前项的和，且满足3an=2Sn+n（n∈N*）（1）求证：数列{an+12}为等比数列；（2）记Tn=S1+S2+L+Sn，求Tn的表达式；（3）记Cn=23（an+12）

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已知数列{a_n}，S_n是其n前项的和，且满足3a_n=2S_n+n（n∈N^*）
（1）求证：数列{a_n+

}为等比数列；
（2）记T_n=S₁+S₂+L+S_n，求T_n的表达式；
（3）记C_n=

（a_n+

），求数列{nC_n}的前n项和P_n．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵3an=2Sn+n，
∴a1=1，
当n≥2时，3（an-an-1）=2an+1，即an=3an-1+1，
∴an+class="stub"1

=3an-1+1+class="stub"1

=3（an-1+class="stub"1

），
∴数列{an+class="stub"1

}是首项为class="stub"3

，公比为3的为等比数列；
（2）由（1）知，an+class="stub"1

=class="stub"3

•3n-1，
∴an=class="stub"1

×3n-class="stub"1

，
∴Sn=a1+a2+…+an
=class="stub"1

•

3(1-3n)

1-3

-class="stub"n

=class="stub"3

•3n-class="stub"1

（2n+3），
∴Tn=S1+S2+…+Sn
=class="stub"3

（3+32+…+3n）-class="stub"1

(5+2n+3)n

=class="stub"3

•

3(1-3n)

1-3

n(n+4)

=class="stub"9

（3n-1）-

n(n+4)

．
（3）∵Cn=class="stub"2

（an+class="stub"1

）=class="stub"2

×class="stub"1

×3n=3n-1，
∴Pn=1×30+2×3+3×32+…+n•3n-1，
∴3Pn=1×3+2×32+…+（n-1）•3n-1+n•3n，
两式相减得：
-2Pn=1+3+32+…+3n-1-n•3n
=

1-3n

1-3

-n•3n
=class="stub"1-2n

×3n-class="stub"1

，
∴Pn=

1+(2n-1)•3n

．

上一篇 : （文）Sn=1-2+3-4+5-6+…+（-1）n+1•n
下一篇 : 观察以下各式：1=12，2＋3＋4=32，3＋4＋5＋6＋7=

已知数列{an}，Sn是其n前项的和，且满足3an=2Sn+n（n∈N*）（1）求证：数列{an+12}为等比数列；（2）记Tn=S1+S2+L+Sn，求Tn的表达式；（3）记Cn=23（an+12）

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