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> 设函数f(x)=2x+33x,作数列{bn}:b1=1,bn=f(1bn-1)(n≥2),求和:Wn=b1b2-b2b3+b3b4-…+(-1)n-1•bnbn+1.-数学
设函数f(x)=2x+33x,作数列{bn}:b1=1,bn=f(1bn-1)(n≥2),求和:Wn=b1b2-b2b3+b3b4-…+(-1)n-1•bnbn+1.-数学
题目简介
设函数f(x)=2x+33x,作数列{bn}:b1=1,bn=f(1bn-1)(n≥2),求和:Wn=b1b2-b2b3+b3b4-…+(-1)n-1•bnbn+1.-数学
题目详情
设函数
f(x)=
2x+3
3x
,作数列{
b
n
}:
b
1
=1,
b
n
=f(
1
b
n-1
)(n≥2)
,
求和:
W
n
=
b
1
b
2
-
b
2
b
3
+
b
3
b
4
-…+(-1
)
n-1
•
b
n
b
n+1
.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
∵f(x)=
class="stub"2x+3
3x
=
class="stub"2
3
+
class="stub"1
x
,
b
n
=f(
class="stub"1
b
n-1
),n≥2
,
∴
b
n
=
class="stub"2
3
+
b
n-1
,
∵b1=1,∴{bn}是首项为1,公差为
class="stub"2
3
的等差数列,
∴
b
n
=
class="stub"2n+1
3
,
∴
b
n
b
n+1
=
class="stub"1
9
(4
n
2
+8n+3)
,
①当n为偶数时:
∵
b
2
=
class="stub"5
3
,
b
n
=
class="stub"2n+1
3
,
∴Wn=b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+bn-1bn-bnbn+1
=b2(b1-b3)+b4(b3-b5)+…+bn(bn-1-bn+1)
=-2×
class="stub"2
3
(b2+b4+…+bn)
=-
class="stub"4
3
×
[
class="stub"n
4
(
class="stub"5
3
+
class="stub"2n+1
3
)]
=-
class="stub"1
9
(2
n
2
+6n)
;
②当n为奇数时:
∵
b
2
=
class="stub"5
3
,
b
n-1
=
class="stub"2n-1
3
,
∴Wn=b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+bn-2bn-1-bn-1bn+bnbn+1
=b2(b1-b3)+b4(b3-b5)+…+bn-1(bn-2-bn)+bnbn+1
=-2×
class="stub"2
3
(
b
2
+
b
4
+…+
b
n-1
)
+bnbn+1
=-
class="stub"4
3
×[
class="stub"n-1
4
(
class="stub"5
3
+
class="stub"2n-1
3
)
]+
class="stub"1
9
(4
n
2
+8n+3)
=
class="stub"1
9
(2
n
2
+6n+7)
.
故
W
n
=
-
class="stub"1
9
(2
n
2
+6n),n为偶数
class="stub"1
9
(2
n
2
+6n+7),n为奇数
.
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设等差数列{an}的前n项和为Sn,
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设{an}是各项均为正整数的等差
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题目简介
设函数f(x)=2x+33x,作数列{bn}:b1=1,bn=f(1bn-1)(n≥2),求和:Wn=b1b2-b2b3+b3b4-…+(-1)n-1•bnbn+1.-数学
题目详情
求和:Wn=b1b2-b2b3+b3b4-…+(-1)n-1•bnbn+1.
答案
∴bn=
∵b1=1,∴{bn}是首项为1,公差为
∴bn=
∴bnbn+1=
①当n为偶数时:
∵b2=
∴Wn=b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+bn-1bn-bnbn+1
=b2(b1-b3)+b4(b3-b5)+…+bn(bn-1-bn+1)
=-2×
=-
=-
②当n为奇数时:
∵b2=
∴Wn=b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+bn-2bn-1-bn-1bn+bnbn+1
=b2(b1-b3)+b4(b3-b5)+…+bn-1(bn-2-bn)+bnbn+1
=-2×
=-
=
故Wn=