设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=4，S5=30．数列{bn}满足b1=0，bn=2bn-1+1，（n∈N，n≥2），①求数列{an}的通项公式；②设Cn=bn+1，求证：{Cn}是等比数列

题目简介

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=4，S₅=30．数列{b_n}满足b₁=0，b_n=2b_n-1+1，（n∈N，n≥2），
①求数列{a_n}的通项公式；
②设C_n=b_n+1，求证：{C_n}是等比数列，且{b_n}的通项公式；
③设数列{d_n}满足dn=

anan+1

+bn，求{d_n}的前n项和为T_n．

题型：解答题难度：中档来源：不详

①由a2=a1+d=4，S5=5a1+class="stub"5×4

d=30得：a1=2，d=2，
∴an=2+2（n-1）=2n…（4分）
②∵bn=2bn-1+1，cn=bn+1，
∴

cn-1

bn+1

bn-1+1

2(bn-1+1)

bn-1+1

=2（n≥2，n∈N）
∴{cn}是以2为公比的等比数列．
又∵c1=b1+1=1，
∴cn=bn+1=1×2n-1=2n-1，
∴bn=2n-1-1…（9分）
③∵dn=class="stub"4

an•an+1

+bn=class="stub"4

2n•2(n+1)

+2n-1-1=（class="stub"1

-class="stub"1

n+1

）+2n-1-1，
∴Tn=[（1-class="stub"1

）+（class="stub"1

-class="stub"1

）+…+（class="stub"1

-class="stub"1

n+1

）]+（1+2+22+…+2n-1）-n
=（1-class="stub"1

n+1

）+

1-2n

1-2

-n
=2n-n-class="stub"1

n+1

（14分）