在等差数列{an}中,a2=5,a6=21,记数列{1an}的前n项和为Sn,若S2n+1-Sn≤m15对n∈N+恒成立,则正整数m的最小值为______.-数学

题目简介

在等差数列{an}中,a2=5,a6=21,记数列{1an}的前n项和为Sn,若S2n+1-Sn≤m15对n∈N+恒成立,则正整数m的最小值为______.-数学

题目详情

在等差数列{an}中,a2=5,a6=21,记数列{
1
an
}
的前n项和为Sn,若S2n+1-Sn
m
15
对n∈N+恒成立,则正整数m的最小值为______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

在等差数列{an}中,∵a2=5,a6=21,
a1+d=5
a1+5d=21

解得a1=1,d=4,
class="stub"1
an
=class="stub"1
1+4(n-1)
=class="stub"1
4n-3

∵(S2n+1-Sn)-(S2n+3-Sn+1)
=(class="stub"1
an+1
+class="stub"1
an+2
+…+class="stub"1
a2n+1
)-(class="stub"1
an+2
+class="stub"1
an+3
+…+class="stub"1
a2n+3

=class="stub"1
an+1
-class="stub"1
a2n+2
-class="stub"1
a2n+3

=class="stub"1
4n+1
-class="stub"1
8n+5
-class="stub"1
8n+9

=(class="stub"1
8n+2
-class="stub"1
8n+5
)+(class="stub"1
8n+2
-class="stub"1
8n+9
)>0,
∴数列{S2n+1-Sn}(n∈N*)是递减数列,
数列{S2n+1-Sn}(n∈N*)的最大项为S3-S1=class="stub"1
5
+class="stub"1
9
=class="stub"14
45

class="stub"14
45
class="stub"m
15
,∴m≥class="stub"14
3

又∵m是正整数,
∴m的最小值为5.
故答案为:5.

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