首页 > 设M=10a2+81a+207，P=a+2，Q=26-2a；若将lgM，lgQ，lgP适当排序后可构成公差为1的等差数列{an}的前三项．（1）试比较M、P、Q的大小；（2）求a的值及{an}的通项；

设M=10a2+81a+207，P=a+2，Q=26-2a；若将lgM，lgQ，lgP适当排序后可构成公差为1的等差数列{an}的前三项．（1）试比较M、P、Q的大小；（2）求a的值及{an}的通项；

题目简介

设M=10a2+81a+207，P=a+2，Q=26-2a；若将lgM，lgQ，lgP适当排序后可构成公差为1的等差数列{an}的前三项．（1）试比较M、P、Q的大小；（2）求a的值及{an}的通项；

题目详情

设M=10a2+81a+207，P=a+2，Q=26-2a；若将lgM，lgQ，lgP适当排序后可构成公差为1的等差数列{an}的前三项．
（1）试比较M、P、Q的大小；
（2）求a的值及{an}的通项；
（3）记函数f（x）=anx2+2an+1x+an+2（n∈N*）的图象在x轴上截得的线段长为bn，设Tn=
1
4
(b1b2+b2b3+…+bn-1bn）（n≥2），求Tn，并证明T2T3T4…Tn＞
2n-1
n
．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由
M=10a2+81a+207＞0
P=a+2＞0
Q=26-2a＞0
，得-2＜a＜13，
∵M-Q=10a2+83a+181＞0（∵△1＜0），M-P=10a2+80a+205＞0（∵△2＜0），∴M＞Q，M＞P，
又∵当-2＜a＜13时，P-Q=-24+3a，
则当-2＜a＜8时，P＜Q，此时P＜Q＜M，
当a=8时，P=Q，此时P=Q＜M，
当8＜a＜13时，P＞Q，此时Q＜P＜M；
（2）由（1）知，当-2＜a＜8时，
lgP+1=lgQ
lgM=1+lgQ
即
10P=Q
M=10Q
，∴
26-2a=10(a+2)
10a2+81a+207=10(26-2a)
，
解得a=class="stub"1
2
，从而an=lgP+（n-1）×1=n-2lg2；
当8＜a＜13时，
lgQ+1=lgP
lgM=1+lgP
即
P=10Q
M=10P
，∴
a+2=10(26-2a)
10a2+81a+207=10(a+2)
，a无解．
综上，a=class="stub"1
2
，an=n-2lg2；
（3）设f（x）与x轴交点为（x1，0），（x2，0），
∵2an+1=an+an+2，∴-1为f（x）的一个零点，
∴当f（x）=0时有（x+1）（anx+an+2）=0，∴x1=-1， x2=-
an+2
an
=-
an+2
an
，
∴bn=|x1-x2|=|-1+
an+2
an
|=class="stub"2
|an|
，
又∵an=n-2lg2＞0，∴bn=class="stub"2
an
，
∴bn-1bn=class="stub"2
an-1
×class="stub"2
an
=4(class="stub"1
an-1
-class="stub"1
an
)，
∴Tn=class="stub"1
4
×4[(class="stub"1
a1
-class="stub"1
a2
)+(class="stub"1
a2
-class="stub"1
a3
)+…+(class="stub"1
an-1
-class="stub"1
an
)]=class="stub"1
a1
-class="stub"1
an
=class="stub"1
1-2lg2
-class="stub"1
n-2lg2
=class="stub"n-1
(1-2lg2)(n-2lg2)
，
又Tn=class="stub"n-1
(1-2lg2)(n-2lg2)
＞class="stub"n-1
class="stub"1
2
n
=
2(n-1)
n
，
∴T2T3T4…Tn＞class="stub"2
2
•class="stub"2•2
3
•class="stub"2•3
4
•class="stub"2•4
5
…
2(n-1)
n
=
2n-1
n
．

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网