将函数f(x)=sin34xsin34(x+2π)sin32(x+3π)在区间(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{an}.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=sinan•si

题目简介

将函数f(x)=sin34xsin34(x+2π)sin32(x+3π)在区间(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{an}.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=sinan•si

题目详情

将函数f(x)=sin
3
4
xsin
3
4
(x+2π)sin
3
2
(x+3π)
在区间(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{an}.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=sinan•sinan+1•sinan+2,求数列{an•bn}的前n项和Sn
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵f(x)=sinclass="stub"3
4
x•sin(class="stub"3
4
x+class="stub"3
2
π)•sin(class="stub"3
2
x+class="stub"9
2
π)
 
=sinclass="stub"3
4
x•(-cosclass="stub"3
4
x)•cosclass="stub"3
2
x=-class="stub"1
2
sinclass="stub"3
2
x•cosclass="stub"3
2
x=-class="stub"1
4
sin3x

3x=kπ+class="stub"π
2

解得x=class="stub"kπ
3
+class="stub"π
6
,k∈Z

所以f(x)的极值点为x=class="stub"kπ
3
+class="stub"π
6
,k∈Z

从而它在区间(0,+∞)内的全部极值点按从小到大排列构成以class="stub"π
6
为首项,class="stub"π
3
为公差的等差数列,
an=class="stub"π
6
+(n-1)•class="stub"π
3
=class="stub"2n-1
6
π

(2)由an=class="stub"2n-1
6
π
知对任意正整数n,an都不是π的整数倍,
所以sinan≠0,
从而bn=sinansinan+1sinan+2≠0,
于是
bn+1
bn
=
sinan+1sinan+2sinan+3
sinansinan+1sinan+2
=
sinan+3
sinan
=
sin(an+π)
sinan
=-1
b1=sinclass="stub"π
6
•sinclass="stub"π
2
•sinclass="stub"5π
6
=class="stub"1
4

∴{bn}是以class="stub"1
4
为首项,-1为公比的等比数列,
bn=
(-1)n-1
4

anbn=class="stub"π
24
•(-1)n-1(2n-1)

Sn=class="stub"π
24
(1×1+3×(-1)+5×1+…(2n-1)
•(-1)n-1)
所以-Sn=class="stub"π
24
(×(-1)+3×1+…(2n-3)•(-1)n-1
+•(2n-1)(-1)n)
两式相减得,
数列{an•bn}的前n项和为Sn=class="stub"nπ
24
•(-1)n-1

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