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已知各项均为正数的数列{an}满足：a1+2a2+3a3+…+nann=(a1+1)an3(n∈N*)（I）求a1，a2，a3的值，猜测an的表达式并给予证明；（II）求证：sinπan≥2an；（I

题目简介

已知各项均为正数的数列{an}满足：a1+2a2+3a3+…+nann=(a1+1)an3(n∈N*)（I）求a1，a2，a3的值，猜测an的表达式并给予证明；（II）求证：sinπan≥2an；（I

题目详情

已知各项均为正数的数列{an}满足：
a1+2a2+3a3+…+nan
n
=
(a1+1)an
3
(n∈N*)
（I）求a1，a2，a3的值，猜测an的表达式并给予证明；
（II）求证：sin
π
an
≥
2
an
；
（III）设数列{sin
π
anan+1
}的前n项和为Sn，求证：
1
3
＜Sn＜
π
2
．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）a1=2，a2=3，a3=4，猜测：an=n+1
下用数学归纳法
①当n=1时，a1=1+1=2，猜想成立；
②假设当n=k（k≥1）时猜想成立，即ak=k+1
由条件a1+2a2+3a3+…+nan=
n(an+1)an
3
∴a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=
(n-1)(an-1+1)an-1
3
(n≥2)
两式相减得：nan=
n(an+1)an
3
-
(n-1)(an-1+1)an-1
3

则当n=k+1时，(k+1)ak+1=
(k+1)(ak+1+1)
3
-
k(ak+1)ak
3
⇒
a2k+1
-2ak+1-k(k+2)=0∴ak+1=k+2即当n=k+1时，猜想也成立
故对一切的n∈N*，an=n+1成立
（Ⅱ）设f(x)=sinx-class="stub"2
π
x(0＜x＜class="stub"π
2
)
由f′(x)=cosx-class="stub"2
π
=0⇒x=arccosclass="stub"2
π

由y=cosx的单调性知f（x）在(0，class="stub"π
2
]内有且只有一个极大值点，
且f(0)=f(class="stub"π
2
)=0∴在(0，class="stub"π
3
)内f(x)＞0
即sinx＞class="stub"2
π
x(0＜x＜class="stub"π
2
)．
令x=class="stub"π
an
，当n≥2时有class="stub"π
an
∈(0，class="stub"π
2
)，∴sinclass="stub"π
an
＞class="stub"2
an

又当n=1时，class="stub"π
an
=class="stub"π
2
，∴sinclass="stub"π
an
=class="stub"2
an
∴sinclass="stub"π
an
≥class="stub"2
an
(n∈N*)
（Ⅲ）∵anan+1≥6，∴class="stub"1
anan+1
∈(0，class="stub"π
2
)
由（Ⅱ）可知sinclass="stub"π
anan+1
＞class="stub"2
anan+1
∴Sn=sinclass="stub"π
2•3
+sinclass="stub"π
3•4
+…+sinclass="stub"π
(n+1)•(n+2)
＞2(class="stub"1
2
-class="stub"1
3
+class="stub"1
3
-class="stub"1
4
+…+class="stub"1
n+1
-class="stub"1
n+2
)=2(class="stub"1
2
-class="stub"1
n+2
)≥class="stub"1
3

即对一切n∈N*，Sn＞class="stub"1
3
．
又∵在(0，class="stub"π
2
)内sinx＜x∴Sn=sinclass="stub"π
2•3
+sinclass="stub"π
3•4
+…+sinclass="stub"π
(n+1)•(n+2)
＜π(class="stub"1
2
-class="stub"1
3
+class="stub"1
3
-class="stub"1
4
+…+class="stub"1
n+1
-class="stub"1
n+2
)=π(class="stub"1
2
-class="stub"1
n+2
)＜class="stub"π
2

即对一切n∈N*，Sn＜class="stub"π
2
．∴class="stub"1
3
＜Sn＜class="stub"π
2
．

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