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已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=12（1）求f（12），f（1n）+f（n-1n）的值；（2）若数列{an}满足an=f（0）+f（1n）+f（2n）+…+f（n-1n）+f（

题目简介

已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=12（1）求f（12），f（1n）+f（n-1n）的值；（2）若数列{an}满足an=f（0）+f（1n）+f（2n）+…+f（n-1n）+f（

题目详情

已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=
1
2

（1）求f（
1
2
），f（
1
n
）+f（
n-1
n
）的值；
（2）若数列{an}满足an=f（0）+f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
）+f（1），求数列{an}的通项公式；
（3）设bn=
4
4an-1
（n∈N+），cn=bnbn+1，求数列{cn}的前n项和Tn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）在f（x）+f（1-x）=class="stub"1
2
中，
令x=class="stub"1
2
，可得f（class="stub"1
2
）+f（class="stub"1
2
）=class="stub"1
2
，所以f（class="stub"1
2
）=class="stub"1
4

令x=class="stub"1
n
，可得f（class="stub"1
n
）+f（class="stub"n-1
n
）=class="stub"1
2

（2）an=f（0）+f（class="stub"1
n
）+f（class="stub"2
n
）+…+f（class="stub"n-1
n
）+f（1），又可以写成
an=f（1）+f（class="stub"n-1
n
）+f（class="stub"n-2
n
）+…+f（class="stub"1
n
）+f（0），
两式相加得，2an=[f（0）+f（1）]+[f（class="stub"1
n
）+f（class="stub"n-1
n
）]+…[f（1）+f（0）]
=（n+1）[f（0）+f（1）]=class="stub"n+1
2

∴an=class="stub"n+1
4

（3）bn=class="stub"4
4an-1
=class="stub"4
n
，cn=bnbn+1=class="stub"4
n
•class="stub"4
n+1
=16（class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
）

∴Tn=16[（class="stub"1
1
-class="stub"1
2
)+(class="stub"1
2
-class="stub"1
3
)+…+(class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
)+（class="stub"1
2
-class="stub"1
3
）+…+（class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
）]=16（1-class="stub"1
n+1
）=class="stub"16n
n+1

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