首页 > 已知函数F(x)=3x-22x-1(x≠12)（1）求F(12011)+F(22011)+…+F(20102011)；（2）已知数列{an}满足a1=2，an+1=F（an），求数列{an}的通项公式

已知函数F(x)=3x-22x-1(x≠12)（1）求F(12011)+F(22011)+…+F(20102011)；（2）已知数列{an}满足a1=2，an+1=F（an），求数列{an}的通项公式

题目简介

已知函数F(x)=3x-22x-1(x≠12)（1）求F(12011)+F(22011)+…+F(20102011)；（2）已知数列{an}满足a1=2，an+1=F（an），求数列{an}的通项公式

题目详情

已知函数F(x)=
3x-2
2x-1
(x≠
1
2
)
（1）求F(
1
2011
)+F(
2
2011
)+…+F(
2010
2011
)；
（2）已知数列{an}满足a1=2，an+1=F（an），求数列{an}的通项公式；
（3） 求证：a1a2a3…an＞
2n+1
．
题型：解答题难度：中档来源：双流县三模

答案

（1）因为F(x)+F(1-x)=class="stub"3x-2
2x-1
+
3(1-x)-2
2(1-x)-1
=3，
所以由倒序相加可得：2[F(class="stub"1
2011
)+F(class="stub"2
2011
)+…+F(class="stub"2010
2011
)]
=[F（class="stub"1
2011
）+F（class="stub"2010
2011
）]+…+[F（class="stub"2010
2011
）+F（class="stub"1
2011
）]
=3×2010=6030，
则F(class="stub"1
2011
)+F(class="stub"2
2011
)+…+F(class="stub"2010
2011
)=3015；
（2）由an+1=F（an），两边同时减去1，得an+1-1=
an-1
2an-1
，
所以class="stub"1
an+1-1
=
2an-1
an-1
=2+class="stub"1
an-1
，
故{class="stub"1
an-1
}是以2为公差、1为首项得等差数列．
所以class="stub"1
an-1
=2n-1，由此an=class="stub"2n
2n-1

（3）因为（2n）2＞（2n）2-1=（2n+1）（2n-1），
所以class="stub"2n
2n-1
＞class="stub"2n+1
2n
，于是class="stub"2
1
＞class="stub"3
2
，class="stub"4
3
＞class="stub"5
4
，…，class="stub"2n
2n-1
＞class="stub"2n+1
2n

所以a1a2…an=
(a1a2…an)2
=
class="stub"2
1
•class="stub"2
1
•class="stub"4
3
•class="stub"4
3
…class="stub"2n
2n-1
•class="stub"2n
2n-1

＞
class="stub"2
1
•class="stub"3
2
•class="stub"4
3
…class="stub"2n
2n-1
•class="stub"2n+1
2n
=
2n+1
．

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