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公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2+2，S3=12+32．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an及其前n项和Sn；（Ⅱ）记bn=an-2，若自然数η1，η2，…，ηk，…满足1≤η

题目简介

公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2+2，S3=12+32．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an及其前n项和Sn；（Ⅱ）记bn=an-2，若自然数η1，η2，…，ηk，…满足1≤η

题目详情

公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2+
2
，S3=12+3
2
．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an及其前n项和Sn；
（Ⅱ）记bn=an-
2
，若自然数η1，η2，…，ηk，…满足1≤η1＜η2＜…＜ηk＜…，并且bη1，bη2，…，bη_，…成等比数列，其中η1=1，η2=3，求ηk（用k表示）；
（Ⅲ）记cn=
Sn
n
，试问：在数列{cn}中是否存在三项cr，cs，ct（r＜s＜t，r，s，t∈N*）恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：江苏模拟

答案

（Ⅰ）∵a1=2+
2
，S3=3a1+3d=12+3
2
，∴d=2
所以an=2n+
2
，Sn=n2+(
2
+1)n
（Ⅱ）由题意，bn=2n，首项b1=2，又数列bη1，bη2，，bη_，
的公比q=
b3
b1
=3
∴bηk=2•3k-1，又bηk=2ηk，∴ηk=3k-1
（Ⅲ）易知cn=n+
2
+1，假设存在三项cr，cs，ct成等比数列，则cs2=cr•ct，
即[s+(
2
+1)]2=[r+(
2
+1)][t+(
2
+1)]，
整理得(2s-r-t)
2
=rt+r+t-s2-2s
①当2s-r-t≠0时，
2
=
rt+r+t-s2-2s
2s-r-t
，
∵r，s，t∈N*，∴
rt+r+t-s2-2s
2s-r-t
是
有理数，这与
2
为无理数矛盾
②当2s-r-t=0时，则rt+r+t-s2-2s=0，从而
s2=rt
2s-r-t=0
，
解得r=t，这与r＜t矛盾．
综上所述，不存在满足题意的三项cr，cs，ct

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