首页 > 已知数列{an}的前n项和为Sn=n+12an（n∈N*），且a1=2．数列{bn}满足b1=0，b2=2，bn+1bn=2nn-1，n=2，3，…．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{bn

已知数列{an}的前n项和为Sn=n+12an（n∈N*），且a1=2．数列{bn}满足b1=0，b2=2，bn+1bn=2nn-1，n=2，3，…．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{bn

题目简介

已知数列{an}的前n项和为Sn=n+12an（n∈N*），且a1=2．数列{bn}满足b1=0，b2=2，bn+1bn=2nn-1，n=2，3，…．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{bn

题目详情

已知数列{an}的前n项和为 Sn=
n+1
2
an（n∈N*），且a1=2．数列{bn}满足b1=0，b2=2，
bn+1
bn
=
2n
n-1
，n=2，3，…．
（Ⅰ）求数列 {an} 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 {bn} 的通项公式；
（Ⅲ）证明：对于 n∈N*，
2b1
a1
+
2b2
a2
+…+
2bn
an
≥2n-1-1．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）∵Sn=class="stub"n+1
2
an，∴2Sn=（n+1）an①，∴2Sn+1=（n+2）an+1②，
∴①-②可得2an+1=（n+2）an+1-（n+1）an，
∴
an+1
an
=class="stub"n+1
n

当n≥2时，an=a1×
a2
a1
×…×
an
an-1
=2n
∵a1=2
∴数列 {an} 的通项公式为an=2n；
（Ⅱ）∵b1=0，b2=2，
bn+1
bn
=class="stub"2n
n-1
，n≥2，
∴n≥3时，bn=b2×
b3
b2
×…×
bn
bn-1
=2n-1(n-1)
b1=0，b2=2满足上式，
∴数列 {bn} 的通项公式为bn=2n-1(n-1)；
（Ⅲ）证明：
2bk
ak
=2k-1(1-class="stub"1
k
)
当k≥2时，1-class="stub"1
k
≥ 1-class="stub"1
2
=class="stub"1
2

∴
2bk
ak
=2k-1(1-class="stub"1
k
)≥2k-2
∵b1=0，
∴
2b1
a1
+
2b2
a2
+…+
2bn
an
≥0+1+2+…+2n-2=
2n-1-1
2-1
=2n-1-1
∴对于n∈N*，
2b1
a1
+
2b2
a2
+…+
2bn
an
≥2n-1-1

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