已知数列{an}是等差数列,a2=6,a5=18,数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn+12bn=1.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式及其前n项和Mn;(Ⅱ)求证数列{bn}是等比数列,并求出其通项公式

题目简介

已知数列{an}是等差数列,a2=6,a5=18,数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn+12bn=1.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式及其前n项和Mn;(Ⅱ)求证数列{bn}是等比数列,并求出其通项公式

题目详情

已知数列{an}是等差数列,a2=6,a5=18,数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn+
1
2
bn=1

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式及其前n项和Mn
(Ⅱ)求证数列{bn}是等比数列,并求出其通项公式与前n项和Tn公式;
(III)记cn=an•bn,求数列{cn}的前n项和Sn
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)设数列{an}的公差为d,
由a2=6,a5=18,
可得a1+d=6,a1+4d=18,
解得a1=2,d=4.
从而an=4n-2,Mn=2n2
(Ⅱ)由Tn+class="stub"1
2
bn=1

令n=1,则b1+class="stub"1
2
b1=1
,可得b1=class="stub"2
3

当n≥2时,Tn+class="stub"1
2
bn=1
Tn-1+class="stub"1
2
bn-1=1

两式相减得Tn+class="stub"1
2
bn-Tn-1-class="stub"1
2
bn-1=0

可得bn=class="stub"1
3
bn-1

所以数列{bn}是等比数列.
可得bn=2×(class="stub"1
3
)n
Tn=
class="stub"2
3
[1-(class="stub"1
3
)
n
]
1-class="stub"1
3
=1-class="stub"1
3n
.…(8分)
(Ⅲ)由cn=anbn=4(2n-1)•(class="stub"1
3
)n

Sn=4[1×class="stub"1
3
+3×(class="stub"1
3
)
2
+5×(class="stub"1
3
)
3
+…+(2n-1)×(class="stub"1
3
)
n
]
class="stub"1
3
Sn=4[1×(class="stub"1
3
)
2
+3×(class="stub"1
3
)
3
+…+(2n-3)×(class="stub"1
3
)
n
+(2n-1)×(class="stub"1
3
)
n+1
]

两式相减得class="stub"2
3
Sn=4[class="stub"1
3
+2×(class="stub"1
3
)
2
+2×(class="stub"1
3
)
3
+…+2×(class="stub"1
3
)
n
-(2n-1)×(class="stub"1
3
)
n+1
]

整理得Sn=4-
4(n+1)
3n

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